Заработная плата производственных рабочих определяется на основе часовых тарифных ставок, зависящих от условий работы, квалификационного разряда и форм оплаты труда. Точное распределение рабочих по разрядам и условиям труда зависит от особенностей конкретного производства. Для предприятий машиностроения наблюдается примерно следующее распределение:
- 1) на холодных работах с нормальными условиями труда работает порядка 80% от среднесписочного состава производственных рабочих, а на горячих и тяжелых работах -20%;
- 2) из всех производственных рабочих примерно 65% работают по сдельной форме оплаты труда, а остальные - по повременной;
- 3) каждая группа рабочих обычно распределяется между собой в процентном отношении по квалификационным разрядам (пример распределения приведен в нижних строках табл.2)
Так как в настоящем проекте требуется в первую очередь определить основную заработную плату основных рабочих, то именно их численность (Чор) следует распределить по условиям работы и квалификационным разрядам. Для расчета соответствующей численности целесообразно пользоваться схемой (деревом), показанной на рис. 1. При этом используются следующие обозначения: Чн - количество человек, работающих в нормальных условиях; Чн - количество человек, работающих в тяжелых условиях; Чсд - количество человек, работающих по сдельной системе оплаты труда; Чпв - количество человек, работающих по повременной системе оплаты труда; Чсд и Чвп - количество рабочих, имеющих i-ый разряд; а1 - коэффициент, учитывающий долю рабочих с i-ым разрядом в соответствующей группе.
Дробные величины показателей Чнд, Чнвп- и т.п. следует округлять до целых чисел таким образом, чтобы их конечная сумма равнялась- общей величине - Чор. Предполагается, что численность вспомогательных рабочих распределяется по условиям труда и разрядам также как основных.
|
Часовые тарифные ставки, руб. |
||||||
|
На холодных работах с нормальными условиями труда (Чн):. сдельщики (Чнсд) |
Zнсд3 = =5.12 |
|||||
|
повременщики (Чнпв) |
Zнпв3 = =4,78 |
Zнпв4 = =5,36 |
Zнпв5 = =6,10 |
|||
|
На горячих и тяжелых работах (Ч т): сдельщики (Ч тсд) |
||||||
|
повременщики (Чтпв) |
||||||
|
Распределение рабочих по разрядам, % |
||||||
|
Коэффициент бi , учитывающий количество рабочих соответствующего разряда |
Чор=360111, чел.Чн=0,8*360=288, чел. Ч т=0,2*360=72, чел.
Чнсд=0,65*288=187, чел. Ч тсд=0,65*72=46, чел.
Чнсд1 =187*0,05=9, чел. Ч тсд1=46*0,05=2, чел.
Чнсд2 =187*0,12=22, чел. Ч тсд2=46*0,12=5, чел.
Чнсд3 =187*0,5=93, чел. Ч тсд3=46*0,5=23, чел.
Чнсд4 =187*0,2=37, чел. Ч тсд4=46*0,2=9, чел.
Чнсд5 =187*0,1=18, чел. Ч тсд5=46*0,1=4, чел.
Чнсд6 =187*0,03=5, чел. Ч тсд6=46*0,03=1, чел.
Чнпв=0,35*288=100,чел. Ч тпв =0,35*72=25,чел.
Чнпв1 =100*0,05= 5 чел. Ч тпв1=25*0,05=1, чел.
Чнпв2=100*0,12=12, чел. Ч тпв2=25*0,12=3, чел.
Чнпв3=100*0,5=50, чел. Ч тпв3=25*0,5=12, чел.
Чнпв4=100*0,2=20, чел. Ч тпв4=25*0,2=5, чел.
Чнпв5 =100*0,1=10, чел. Ч тпв5=25*0,1=2, чел.
Чнпв6 =100*0,03=3, чел. Ч тпв6=25*0,03=1, чел.
Фонд рабочего времени одного рабочего определяется по формуле:
где - дни календарные, 365 дн;
Дни выходные в году, 54 дн;
Дни праздничные в году, 13 дн;
Дни отпуска, 24 дн;
Дни неявок на работу по болезни, 2 дн;
Дни неявок на работу из-за выполнения государственных обязанностей, 1 дн;
Продолжительность рабочего дня, 8 ч;
Время сокращения рабочего дня перед выходными и праздничными днями, 1 ч.
Численность ремонтных рабочих
Численность ремонтных рабочих определяется по формуле:
где - коэффициент выполнения норм выработки для ремонтных рабочих, принимается в пределах 1,06-1,1.
Распределение рабочих по профессиям и разрядам
Распределение численности ремонтных рабочих по разрядам и профессиям производится с учетом объема производства по роду работ на основании таблицы 4.
Таблица 4 - Распределение рабочих по разрядам и видам работ
Расчет среднего тарифного разряда рабочего
Расчет среднего тарифного разряда рабочего производится по формуле:
разряд, (32)
где 4,5,6 - разряды работ;
Количество ремонтных рабочих соответствующего разряда, чел.
Полученный результат чаще всего является дробной величиной, и округлять его до целых величин нельзя. Средний тарифный разряд рекомендуется писать в виде десятичной дроби, причем целые числа обозначать римской цифрой, а дробные - арабской, например III, 5.
Выбор режимов труда и отдыха
Рабочее время и время отдыха работников предприятия регламентируется трудовым законодательством. Режим труда и отдыха является оптимальным в том случае, если он позволяет увеличить период устойчивой работоспособности. В значительной степени это достигается правильным выбором времени обеденного перерыва, а также времени дополнительных перерывов.
Наилучшая время обеденного перерыва - середина смены. Частота и длительность регламентированных кратковременных перерывов следует устанавливать в зависимости от нагрузки и темпа работы производственного участка. При незначительных нагрузках и темпе работы рекомендуется 2-4 пятиминутных перерыва, при большой нагрузке и высоком темпе работы рекомендуется 4-5 десятиминутных перерывов, при высоком нервном напряжении - 4 пятнадцатиминутных перерывов для 7-8 часовых рабочих смен.
Для построения ряда распределения рабочих по уровню квалификации, выделим в нем три группы рабочих: с низкой квалификацией (2 тарифный разряд), средней квалификацией (с 3 и 4 тарифный разряд) и высокой квалификацией (5 и 6 тарифный разряд), а затем построим таблицу.
Ряд распределения рабочих по уровню квалификации
Ряд распределения рабочих по тарифному разряду является вариационным дискретным рядом, так как признак, положенный в основу его построения, является количественным, т.е. выражается числом. Ряд распределения рабочих по уровню квалификации является атрибутивным, так как признак, положенный в основу его построения, является качественным, т.е. не имеет количественной меры и может быть выражен только словом.
Типовая задача 2
Известны следующие данные о зарплате работников одного из предприятий, руб. в 2005 г.:
Постройте ряд распределения работников предприятия по уровню зарплаты, выделив четыре группы работников с равными интервалами.
Укажите , по какому группировочному признаку построен ряд распределения: атрибутивному или количественному.
В качестве изучаемого признака возьмем зарплату работников и построим по ней ряд распределения с равными закрытыми интервалами. Величина интервала в этом случае определяется по формуле:
где
и
–
соответственно максимальное и минимальное
значение зарплаты работника;
n – число групп.
Числитель иначе называют вариационный размах.
Образуем четыре группы работников. Тогда величина интервала будет равна:
Теперь образуем группы работников, отличающиеся друг от друга по зарплате на эту величину. Первая группа будет иметь размер зарплаты от 1300 до 1525 руб., вторая от – 1525 до 1750 руб., и т.д.
В результате получим таблицу:
Распределение работников по размеру зарплаты, руб.
Данный ряд распределения построен по количественному признаку, представленному в интервальной форме, поэтому он является интервальным вариационным рядом.
Как видно из таблицы, ряд распределения состоит из двух элементов: а) значения признака, б) абсолютной численности единиц признака (частот).
Для большей наглядности абсолютные величины могут быть дополнены относительными показателями (частостями), выраженными в процентах. Таким образом, обобщение данных в виде группировок позволяет изучить состав совокупности по изучаемому признаку, оценить степень его вариации и сравнивать группы между собой.
Примечание. Построенные ряды распределения являются групповыми таблицами, так как в основу их построения положен один группировочный признак.
Модальный разряд (варианта) – 5, т.к. он имеет наибольшую частоту (f=55 ).
Медиана () – это величина варьирующегося признака, которая делит совокупность пополам, т.е. лежит в середине ранжированного ряда.
Место медианы в ряду:
а) с нечетным числом единиц:
;
б) с четным числом единиц:
В нашем примере медианным является 4 разряд.
Формулы расчета структурных средних по сгруппированным данным (с интервалами):
, (6.21)
где – нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой); i
– величина интервала; 
– соответственно частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.
, (6.22)
где – нижняя граница медианного интервала, в котором находится половина единиц объема совокупности; i – величина интервала; – сумма всех частот; – сумма частот, предшествующих медианному интервалу; – частота медианного интервала.
Пример 8. В таблице приведены данные о стаже работы 30 рабочих цеха.
Решение:
Модальный интервал при стаже работы от 6 до 12 лет имеет частоту 12. Тогда мода равна:
лет.
Мода показывает, что наиболее часто рабочие цеха имеют стаж 8,5 лет.
Медианный интервал (в котором находится половина частот совокупности, т.е. 15 человек), будет также при стаже от 6 до 12 лет.
Медиана равна:
лет.
Медиана показывает, что половина рабочих имеет стаж до 10 лет, половина – более 10 лет.
Структурные средние можно определить не только по формулам, но и графически: моду по гистограмме, медиану по кумуляте.
Для графического определения моды в гистограмме используют три столбика: самый высокий и два прилегающих к нему – слева и справа. Внутри столбика с наибольшей высотой проводят две линии: первая соединяет его правый верхний угол с правым верхним углом предшествующего столбика, а левый – с верхним левым углом следующего. Абсцисса точки пересечения этих прямых – это мода распределения, представленного в виде гистограммы (рис. 6.1).
Рисунок 6.1 Графическое представление моды на гистограмме распределения
Для графического определения медианы строят кумуляту и последнюю ординату кумуляты делят пополам. Через полученную точку проводят прямую параллельно оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения – это медиана представленного графически распределения (рис. 6.2).
Рисунок 6.2 Графическое представление медианы на кумуляте распределения
Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха.
Определим выборочные средние по бригадам и общую среднюю:
Определим межсерийную дисперсию:
Рассчитаем среднюю ошибку выборки:
Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997: .
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих механического цеха находится в пределах .◄
При бесповторном серийном отборе средняя ошибка выборки для доли определятся по формуле:
где - межсерийная дисперсия доли.
Пример .
200 ящиков деталей упакованы по 40 шт. в каждом. Для проверки качества деталей был проведён сплошной контроль деталей в 20 ящиках (выборка бесповторная). В результате контроля установлено, что доля бракованных деталей составляет 15%. Межсерийная дисперсия равна 49. С вероятностью 0,997 определим пределы, в которых находится доля бракованной продукции в партии ящиков.
Определим среднюю ошибку выборки для доли: .
Предельная ошибка выборки для доли с вероятностью 0,997 равна: .
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что доля бракованных деталей в партии будет находиться в пределах от 10,59% до 19,41%.
Пример
Для определения скорости расчетов с кредиторами в порядке механической выборки отобрали 50 платежных документов, по которым средний срок перечисления денег оказался равным 28,2 дня со среднеквадратическим отклонением 5,4 дня. Требуется определить средний срок всех платежей в течение данного года с вероятностью 0,95.
Решение. Предельная ошибка выборки
Тогда с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя продолжительность расчетов предприятия данного треста находится составляет не менее 26,7 дня (28,2 – 1,49) и не более 29,7 дня (28,2 + 1,49).◄
Пример
Генеральная совокупность N состоит из 100 000 единиц, разбитых на 200 равных по объему серий. Произведена бесповторная выборка (m) 50% серий и по 20% единиц из каждой серии. Средняя из серийных дисперсий оказалась равной 12, а межсерийная 5. Требуется определить среднюю ошибку выборки.
Определяем общее число единиц, отобранных серийно: . Число единиц, составляющих индивидуальную выборку: По формуле средней ошибки для бесповторного отбора находим:
Можно сделать выборку такого же объема 100000 единиц, отобрав 20% серий и 50% единиц из каждой серии. При тех же значениях средней из серийных дисперсий и межсерийной дисперсии средняя ошибка этой выборки увеличилась бы в два раза.
Распределение значений выборочных средних всегда имеет нормальный закон распределения (ли приближается к нему) при , независимо от характера распределения генеральной совокупности. Однако в случае малых выборок действует иной закон распределения – распределение Стьюдента . В этом случае коэффициент доверия находится по таблицам -распределений Стьюдента в зависимости от величины доверительной вероятности и объема выборки . Для отдельных значений и доверительная вероятность малой выборки определяется по специальным таблицам Стьюдента (табл. 9), в которых даны распределения стандартизированных отклонений:
Таблица 9.
| n | t | ||||
| 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 3,0 | |
| 0,347 | 0,609 | 0,769 | 0,861 | 0,942 | |
| 0,362 | 0,637 | 0,806 | 0,898 | 0,970 | |
| 0,368 | 0,649 | 0,823 | 0,914 | 0,980 | |
| 0,371 | 0,657 | 0,832 | 0,923 | 0,985 | |
| 0,376 | 0,666 | 0,846 | 0,936 | 0,992 | |
| 0,377 | 0,670 | 0,850 | 0,940 | 0,993 |
Поскольку при проведении малой выборки в качестве доверительной вероятности практически принимается значение 0,95 или 0,99, то для определения предельной ошибки малой выборки используются следующие показания распределения Стьюдента (табл. 10)
Таблица 10.
| n | ||
| 0,95 | 0,99 | |
| 3,183 | 5,841 | |
| 2,777 | 4,604 | |
| 2,571 | 4,032 | |
| 2,447 | 3,707 | |
| 2,364 | 3,500 | |
| 2,307 | 3,356 | |
| 2,263 | 3,250 | |
| 2,119 | 2,921 | |
| 2,078 | 2,832 |
Пример.
При контрольной проверке качества поставленной в торговлю колбасы получены данные о содержании поваренной соли в пробах. По данным выборочного обследования нужно установить с вероятностью 0,95 предел, в котором находится средний процент содержания поваренной соли в данной партии товара.
Составляем расчётную таблицу и по её итогам определяем среднюю пробу малой выборки (табл.11).
Таблица 11.
| Пробы | ||
| 4,3 | 0,2 | 0,04 |
| 4,2 | 0,1 | 0,01 |
| 3,8 | 0,3 | 0,09 |
| 4,3 | 0,2 | 0,04 |
| 3,7 | - 0,4 | 0,16 |
| 3,9 | - 0,2 | 0,04 |
| 4,5 | 0,4 | 0,16 |
| 4,4 | 0,3 | 0,09 |
| 4,0 | - 0,1 | 0,01 |
| 3,9 | - 0,2 | 0,04 |
| 41,0 | - | 0,68 |
Определяем дисперсию малой выборки:
Определяем среднюю ошибку малой выборки:
Исходя из численности выборки (n=10) и заданной вероятности =0,95, устанавливается по распределению Стьюдента (см. табл. 10.) значение коэффициента доверия t=2,263.
Предельная ошибка малой выборки составит:
Следовательно, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всей партии колбасы содержание поваренной соли находится в пределах:
Т.е. от 4,1% - 0,2%=3,9% до 4,1%+0,2%=4,3%.◄
Пример
Требуется построить 99%-ный доверительный интервал для оценки генерального среднего диаметра изделия по выборке из 10 деталей, обработанных на токарном автомате, если отклонения размеров этих деталей от середины поля допуска оказались следующими (табл.12):
Таблица 12.
Выборочная средняя мк. Выборочная дисперсия равна 5,2:
Средняя квадратическая ошибка выборки составит 0,76 мк: мк.
При Р = 0,99 и числу степеней свободы k = 9 по таблице находим, что значение t равно 3,25. Тогда с вероятностью 0,99 можно предполагать, что ошибка выборочной средней будет не больше 2,47 мк (3,25 х 0,76), а допустимые значения параметра генеральной совокупности лежат в интервале от – 0,47 до +4,47 кг (2,0 ± 2,47).◄
4. Определение необходимой численности выборки. Перед непосредственным проведением выборочного наблюдения всегда решается вопрос, сколько единиц исследуемой совокупности необходимо отобрать для обследования. Численность выборки может быть определена в соответствии с положениям:
· вид предполагаемой выборки;
· способ отбора (повторный или бесповторный);
· выбор оцениваемого параметра (среднего значения признака или доли).
Кроме того, следует заранее определиться со значением доверительной вероятности, устраивающей потребителя информации, и с размером допустимой предельной ошибки выборки.
Эти задачи решаются на основе теорем П. Чебышева и А. Ляпунова. Величина предельной ошибки выборки для собственно случайной, механической выборки определяется следующим образом:
Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора необходимый объем выборки для средней количественного признака вычисляется по формуле
При определении по материалам выборки доли признака , а не средней его величины, объем выборочной совокупности определится по следующим формулам.
Для повторного отбора:
Для бесповторного отбора:
Величина , характеризующая дисперсию в генеральной совокупности, зачастую бывает неизвестна. В математической статистике доказано, что соотношение между генеральной и выборочной дисперсиями определяется равенством
Так как при достаточно больших – величина, близкая к единице, то можно принять, что . Поэтому на практике используют выборочную дисперсию в качестве оценки генеральной дисперсии. Заметим, что к началу проведения выборочного наблюдения показатели вариации неизвестны, поэтому определение необходимого объема выборки часто составляет серьезную проблему, связанную с определением показателя вариации изучаемого признака. Приблизительно показатель вариации определяют одним из следующих способов:
· берут из предыдущих исследований;
· если структура и условия развития достаточно стабильны, или же зная примерную величину средней, дисперсию находят из соотношения ;
· если известны и , то можно определить среднее квадратическое отклонение в соответствии с правилом «трех сигм»: , так как в нормальном распределении в размахе вариации укладывается . Если распределение заведомо асимметричное, то ;
при изучении альтернативного признака для случая, когда частость даже приблизительно неизвестна, можно брать максимальную величину дисперсии доли, равную 0,25, т.е. . В этом случае имеем для повторного отбора, для бесповторного отбора;
· проводят «пробную» выборку, по которой рассчитывают показатель вариации, используемый в качестве оценки генеральной совокупности.
Поскольку генеральная дисперсия оценивается приближенно, величину объема выборки округляют в большую сторону как при повторной, так и при бесповторной выборке, поскольку всегда должен иметься некоторый «запас» числа обследованных единиц для обеспечения требуемой точности результатов.
Нередко на практике задается не величина абсолютной предельной ошибки , а величина относительной погрешности , выраженная в процентах к средней:
Откуда .
Подставив величину , выраженную через относительную погрешность, в формулу для определения , получим следующее выражение для определения необходимого объема выборки:
Как известно, отношение представляет собой коэффициент вариации , откуда
При бесповторном отборе численность выборки рассчитывается по формуле
Если задана предельная ошибка выборки и объем выборки , то можно определить величину коэффициента , зная которую, по таблице можно определить вероятность .
Пример
Сколько турагентов нужно обследовать в турпредприятиях региона, чтобы получить характеристику среднего уровня оплаты труда этой категории работников в регионе? Известно, что разница между наивысшим и наименьшим уровнем оплаты труда турагентов в регионе составляет 300 тыс. руб.
Для нормального распределения в промежуток ± 3s включается 99,7% всех вариантов значений признака, а это означает применительно к рассматриваемой задаче, что 300 тыс. руб. примерно равно шести средним квадратическим отклонениям (300 » 6s). Поэтому примерная оценка среднего квадратического отклонения заработной платы в генеральной совокупности турагентов региона составит 50 тыс. руб. (). Для дальнейших расчетов достаточно, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 10 тыс. руб. Тогда, зная, что s = 50 тыс. руб., a t = 2, и используя формулу (5.6) для определения необходимого объема выборки, получим: чел.
Таким образом, при заданных условиях нужно обследовать размер заработной платы у 100 турагентов региона.◄
Пример
Какого объема должна быть выборка из совокупности, включающей 8 000 молодых вкладчиков, чтобы с вероятностью 0,954 относительная предельная ошибка составила не более 1%, если известно, что коэффициент вариации признака для всей совокупности составляет 0,125, то есть 12,5%?
При V=12,5%, =1%, t=2 имеем чел.◄
Пример
Используя выборочный опрос определенной группы населения (N = 5 000), требуется определить долю семей, которые на данный момент не имеют импортного автомобиля. Предельная ошибка выборки должна быть не больше 0,01 с вероятностью 0,954. Можно предполагать, что доля в генеральной совокупности меньше 0,2. Каков должен быть объем выборки?
Домохозяйств.
Доля домохозяйств, не имеющих импортного автомобиля, составляет . Если в этом примере не учитывать объема совокупности, то расчеты приводят к бессмысленному результату:
Пример
В выборке объемом 1000 единиц доля бракованных изделий составила 2%. Какова вероятность того, что во всей партии изделий (10 000 штук) доля бракованных изделий будет находиться в пределах от 1,5 до 2,5%?
Доверительная вероятность, которую требуется определить, является функцией t. Последняя находится из формулы предельной ошибки выборки , откуда . Величина предельной ошибки выборки может быть определена как разность между максимально допустимой генеральной долей (по условию она равна 2,5%) и долей бракованных изделий в выборке (по условию 2%).
Таким образом, = 0,5% (2,5% – 2,0%). Так как выборка – случайная бесповторная, то величина средней ошибки выборки находится по формуле
Находим величину коэффициента доверия: .
По таблицам интегральной функции Лапласа вероятность, соответствующая данной величине коэффициента t, равна 0,76595. ◄
5. Способы распространения выборочных данных на генеральную совокупность. Выборочный метод чаще всего применяется для получения характеристик генеральной совокупности по соответствующим показателям выборки. В зависимости от целей исследований, используют два способа распространения выборочного наблюдения на генеральную совокупность : прямого пересчета показателей выборки для генеральной совокупности или посредством расчёта поправочных коэффициентов.
Способ прямого пересчёта состоит в том, что показатели выборочной доли или средней распространяется на генеральную совокупность с учётом ошибки выборки. При этом генеральная средняя определяется как , а генеральная доля – .
Так, в торговле определяется количество поступивших в партии товара нестандартных изделий. Для этого (с учётом принятой степени вероятности) показатели доли нестандартных изделий в выборке умножаются на численность изделий во всей партии товара.
Пример.
При выборочном обследовании партии нарезных батонов 2 000 ед. доля нестандартных изделий в выборке составляет: 0,1 (10: 100) при установленной с вероятностью =0,954 предельной ошибке выборки .
На основе этих данных доля нестандартных изделий во всей партии составит: или от 0,04 до 0,16.
Способом прямого пересчёта можно определить пределы абсолютной численности нестандартных изделий во всей партии: минимальная численность - 2 000: 0,04 = 80 шт.; максимальная численность - 2 000: 0,16 = 320 шт.
Способ поправочных коэффициентов применяется в случаях, когда целью выборочного метода является уточнение результатов сплошного наблюдения.
В статистической практике этот способ используется при уточнении данных ежегодных переписей скота, находящегося у населения. Для этого после обобщения данных сплошного учета практикуется 10%-ное выборочное обследование с определением так называемого “процента недоучета”.
Так, например, если в хозяйствах населения поселка по данным 10%-ной выборки было зарегистрировано 52 головы скота, а по данным сплошного учета в этом массиве значится 50 голов, то коэффициент недоучета составляет 4% [(2*50):100]. С учетом полученного коэффициента вносится поправка в общую численность скота, находящегося у населения данного поселка.
6. Статистическая проверка гипотез. Гипотеза – это научное предположение об особенностях явлений, которые их определяют, требующее проверки и доказательства.
Статистическая гипотеза – это определенное предположение, касающееся параметров или формы распределения генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на результаты выборочного наблюдения. Суть проверки гипотез заключается в том, чтобы проверить, согласуются или нет результаты выборки с гипотезой, случайными или неслучайными являются расхождения между гипотезой и данными выборки.
Может быть выдвинута гипотеза о нормальном, биномиальном, распределении Пуассона и т.д.. Причиной частого обращения к нормальному распределению является то, что в этом типе распределения выражается закономерность, возникающая при взаимодействии множества случайных причин, когда ни одна из них не имеет преобладающего влияния. В социально-экономической статистике нормальное распределение встречается редко, но сравнение с ним важно для выяснения степени и характера отклонения от него фактического распределения. При проверке гипотез имеется возможность совершить ошибки двоякого рода:
а) ошибка первого рода – проверяемая гипотеза (её обычно называют нулевой гипотезой) является в действительности верной, но результаты проверки приводят к отказу от неё;
б) ошибка второго рода – проверяемая гипотеза в действительности является ошибочной, но результаты проверки приводят к её принятию.
Чаще всего гипотеза, которую необходимо проверить, формулируется как отсутствие расхождений между неизвестным параметром генеральной совокупности и заданной величиной (нулевая гипотеза), обозначается . Содержание гипотезы записывается после двоеточия, например .
Статистическим критерием называется правило, согласно которому нулевая гипотеза принимается или отклоняется. Для каждого вида проверяемых гипотез разработаны специальные критерии, среди которых чаще всего используют - критерий нормального распределения и распределения Стьюдента, -критерий Фишера, распределения Пирсона («хи-квадрат») и другие.
Для построения статистического критерия, позволяющего проверить некоторую гипотезу, необходимо следующее:
1) Сформулировать проверяемую гипотезу . Наряду с проверяемой гипотезой формулируется также конкурирующая гипотеза (альтернативная);
2) выбрать уровень значимости , контролирующий допустимую вероятность ошибки первого рода;
3) определить область допустимых значений и так называемую критическую область;
4) принять то или иное решение на основе сравнения фактического и критического значений критерия.
Уровень значимости () – это такое малое значение вероятности попадания критерия в критическую область при условии справедливости гипотезы, что появление этого события может расцениваться как следствие существенного расхождения выдвинутой гипотезы и результатов выборки. Обычно уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.
Мощность критерия – это вероятность отклонения испытуемой нулевой гипотезы, когда правильною является альтернативная гипотеза. То есть мощностью критерия является вероятность того, что не будет допущена ошибка. Конечно, желательно иметь более мощный критерий, так как это обеспечит минимальную вероятность допущения ошибки второго рода.
Статистические критерии, используемые для проверки гипотез, бывают двух видов:
1) Параметрическими называю критерии, которые обосновываются на допущении: распределение случайной величины в совокупности подчиняется какому-либо известному закону (например, нормальному, биноминальному, Пуассона). К таким критериям относятся критерии .
2) Непараметрическими (порядковыми) называют критерии, использование которых не связано со знанием закона распределения случайной величины. Их можно использовать тогда, когда распределение значительно отличается от нормального. К таким критериям относятся критерий знаков Вилкоксона, Уайта, Манна-Уитни.
По сравнению с параметрическими тестами непараметрическое тестирование имеет следующие преимущества и недостатки.
Преимущества:
1. Меньше предположений о генеральной совокупности. Наиболее важное из них то, что совокупность не должна быть нормально распределенной или приблизительно нормальной.
2. Методы непараметрического тестирования могут быть применены даже тогда, когда выборка очень мала.
3. Могут использоваться данные, представленные в любых шкалах измерения (номинальные, порядковые).
4. Простота вычислений, которые могут проводиться на микрокалькуляторе. Это прежде всего связано с малым числом наблюдений, к которым применяются непараметрические тесты.
Недостатки:
1. Информация о данных используется менее эффективно, и мощность тестов ниже, чем параметрических.
Непараметрическое тестирование больше зависит от статистических таблиц, если не используется специальный пакет прикладных программ.
Этапы работы по проверке статистической гипотезы :
1) оценка входной информации и описание статистической модели выборочной совокупности;
2) формирование нулевой и альтернативной гипотезы;
3) установление уровня значимости, с помощью которого контролируют ошибку первого рода;
4) выбор мощного критерия для проверки нулевой гипотезы (это даёт возможность контролировать появление ошибки второго рода);
5) вычисление по определённому алгоритму фактического значения критерия;
6) определение критической области и области согласия с нулевой гипотезой, то есть установление табличного значения критерия;
7) сравнение фактического и табличного значений критерия и формулирование выводов по результатам проверки нулевой гипотезы.
Число наблюдений, по которому строится эмпирическое распределение, невелико и представляет собой выборку из исследуемой генеральной совокупности. Эмпирические данные связаны со случайными ошибками, величина которых неизвестна. С увеличением числа наблюдений и одновременно с уменьшением величины интервала зигзаги полигона начинают сглаживаться и в пределе переходят к плавной кривой – кривой распределения.
Кривая распределения характеризует теоретическое распределение, то есть которое получилось бы при полном гашении всех случайных причин, затемняющих основную закономерность.
Исследование закономерности (формы) распределения включает:
· выяснение общего характера распределения;
· выравнивание эмпирического распределения, то есть на основании эмпирического распределения строится кривая с заданной формой;
· проверку соответствия найденного теоретического распределения эмпирическому.
Однородные совокупности характеризуются одновершинными распределениями. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. В этом случае необходима перегруппировка данных с целью выделения более однородных групп.
Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.
Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих от центра распределения, равны между собой. Для симметричного распределения .
Для сравнительного анализа асимметрии нескольких распределений рассчитывается относительный показатель асимметрии :
Величина может быть положительной и отрицательной. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии (правая ветвь относительно максимальной ординаты более вытянута, чем левая) (рис.1):
Рис.1. Мо<Ме<
Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии (рис.2).
Рис.2. Мо>Ме>
Наиболее распространенным является показатель асимметрии, исчисляемый по формуле
где – центральный момент третьего порядка.
Применение этого показателя дает возможность определить не только степень асимметрии, но и наличие или отсутствие асимметрии в распределении признака в генеральной совокупности. Оценка осуществляется с помощью средней квадратической ошибки:
где n – число наблюдений.
Если >3, асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным. Если <3, асимметрия несущественна и ее наличие может объясняться влиянием случайных обстоятельств.
Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы на ожидаемый закон неизвестного распределения в генеральной совокупности. Есть ряд критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова, Ястремского. Эти критерии дают возможность установить: согласуются или нет опытные распределения с теоретическими, а также насколько существенны расхождения между распределениями.
Одним из наиболее употребляемых критериев согласия является критерий К. Пирсона («Хи-квадрат»):
где - соответственно частоты эмпирического и теоретического распределения в - том интервале.
Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше величина критерия Пирсона. Чтобы отличить существенные значения от значений, которые могут возникнуть в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия сравнивается с табличным значением при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости.
Определив значение критерия Пирсона по данным конкретной выборки, можно встретиться с такими вариантами:
1) , то есть попадает в критическую область. Это означает, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных. В таком случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному отвергается.
2) , то есть рассчитанный критерий не превышает максимально возможную величину расхождений эмпирических и теоретических частот, которая может возникнуть в силу случайных колебаний выборочных данных. В этом случае гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.
Табличное значение критерия Пирсона определяется при фиксированном уровне значимости и соответствующем числе степеней свободы.
Число степеней свободы = , где - число условий, которые предполагаются выполненными при вычислении теоретических частот, - число групп. Понятие числа степеней свободы связано с тем, что в статистических совокупностях приходится учитывать линейные связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Например, при исчислении дисперсии в совокупности мы располагаем степенями свободы, так как любое значение признака мы можем определить, зная значений и среднюю арифметическую.
При расчете критерия Пирсона нужно соблюдать следующие условия:
1. Число наблюдений должно быть достаточно велико
2. Если теоретические частоты в некоторых интервалах меньше 5, то такие интервалы объединяют так, чтобы частоты были больше 5.
Пример
Требуется проверить соответствие распределения предприятий области по средней стоимости основных фондов нормальному закону распределения, используя критерий .
Следует проверить гипотезу о том, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности (в данной совокупности 30,3; 8,44).
Для ответа на вопрос составим вспомогательную таблицу 13.
Таблица 13
| Группы строительных предприятий по объему выполненных подрядных работ, млн руб. | Наблюдаемая частота | Округленные частоты | |||||||
| 10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50 50–55 | -2,41 -1,81 -1,22 -0,63 -0,04 0,56 1,15 1,74 2,33 | -1,81 -1,22 -0,63 -0,04 0,56 1,15 1,74 2,33 2,93 | -0,984 -0,930 -0,778 -0,471 -0,032 0,425 0,750 0,918 0,980 | -0,930 -0,778 -0,471 -0,032 0,425 0,750 0,918 0,980 0,997 | 0,027 0,076 0,153 0,220 0,228 0,163 0,084 0,031 0,008 | 3,9 10,9 21,9 31,4 32,6 23,3 12,0 4,4 1,2 | |||
| 0,18 3,226 1,48 0,173 0,333 | |||||||||
| 0,2 | |||||||||
| Итого | - | - | - | - | - | - | 5,512 |
Для первого интервала
143*0,027 = 3,9 ≈ 4.
Число групп после объединения малочисленных составило 7. Критическое значение при 7 – 3 = 4 степенях свободы и значимости 0,05 составит 9,49. Значит, вероятность расхождения распределения с нормальным меньше 0,05 и вероятность соответствия его нормальному закону больше 0,95. при α = 0,1 равна 7,78, что также больше фактического. Гипотеза о соответствии распределения данной совокупности нормальному закону не может быть отвергнута.
С помощью критерия можно проверить не только гипотезу о согласии эмпирического распределения с нормальным, но и с любым другим известным законом распределения, например распределением Пуассона . Это распределение встречается при рассмотрении маловероятных событий, имеющих место в большой серии независимых испытаний. Вероятность появления этих редких событий
где – среднее число появления события А в n одинаковых независимых испытаниях, то есть ; Р – вероятность события при одном испытании; е = 2,71828; m – частота данного события.
Например, для проведения внутреннего контроля качества оформления платежных требований в случайном порядке были выбраны 100 документов. Среднее количество ошибок составило . Требуется проверить, используя критерий , соответствие эмпирического распределения распределению Пуассона (табл. 14).
Таблица 14
| Количество ошибок | Число проверенных документов | |||
| 0,6771 0,2641 0,0515 0,0067 0,0007 | 67,7 26,4 5,15 0,7 0,1 | 0,7859 0,4100 0,0043 8,1148 13,3877 | ||
| Итого | 1,0000 | 26,400 |
Значение = 26,4. Число степеней свободы df = 5 – 1 = 4. (Для распределения Пуассона: df = к – 1 – r, где r = 1 или r = 0, если оценка происходит по выборке.) Табличные значения ; . Так как , гипотеза о распределении Пуассона отклоняется.
Для оценки степени соответствия эмпирических и теоретических распределений по данному критерию используются специальные таблицы.
В случае отсутствия специальных таблиц, критерий «хи-квадрат» можно заменить критерием В.И.Романовского:
где – число степеней свободы.
Для нормального распределения, распределения Шарлье , где – число интервалов (групп).
Расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами считаются случайными, если значение меньше трех.
Помимо данных критериев рассмотрим непараметрические критер ии, актуальность использования которых непрерывно возрастает.
Критерий знаков Вилкоксон – число наблюдений, для которых ).
Область отклонения Н 0 может быть либо с одной, либо с двух сторон в зависимости от того, какая нулевая гипотеза испытывается. В случае отсутствия специальных таблиц W-статистики может быть использовано стандартное нормальное распределение, то есть Z-статистика с учетом п.
Пример
Требуется, используя критерий знаков Вилкоксона, решить вопрос о значимости превышения значения медианы прибыли в исследуемой совокупности фирм, занимающихся сделками с недвижимостью, нулевого значения (5%-й уровень значимости). Нулевая и альтернативная гипотезы будут записаны так: Н о: m < 0; Н 1: m > 0.
Таблица 16
Расчет критерия Вилкоксона
| Фирма | Наблюдаемые значения (прибыль как процент от продаж) | Ранг | ||||
| -5 | -5 | 9,5 9,5 9,5 15,5 9,5 2,0 15,5 9,5 13,5 13,5 9,5 | 9,5 9,5 9,5 15,5 9,5 2,0 15,5 9,5 13,5 - 9,5 | 13,5 | ||
| Итого | - | - | - | - | 139,5 | 13,5 |
Для фирм с ранги вынесены в отдельную графу R + . Сумма значений в этой графе дает статистику Вилкоксона: W= 139,5. (Графа R– не участвует в анализе, но рассчитывается, чтобы избежать ошибок.)
Критическое значение критерия W может быть найдено из таблиц.
Для 17 ненулевых разностей и α = 0,05 нижнее критическое значение W = 42, верхнее – 111. Фактическое значение = 139,5 не находится в интервале табличных значений. Следовательно, нулевая гипотеза может быть отвергнута на 5%-ном уровне значимости.
Критерий знаков Вилкоксона для сравнения двух выборок может быть применен как непараметрический критерий решения задачи, для которой ранее использовался параметрический t-критерий. Характеристики одной совокупности обозначаются x 1 , а другой y 1 . Методика расчета аналогична применению критерия к одной выборке.
Пример
Каждому члену аналитической группы из 17 человек показали две рекламы. Испытуемые оценили творческий уровень каждой из рекламы в баллах от 1 до 5. Оценить творческий уровень каждой из реклам на 5%-ном уровне значимости.
Н 0: , то есть медиана величины в генеральной совокупности равна нулю (творческие уровни рекламы одинаковы);
21,5 попадает в эти пределы, следовательно, нулевая гипотеза принимается. Вывод: сравниваемые рекламные продукты имеют одинаковый творческий уровень.Предполагается, что , ранги для данных из выборки 2 записываются в графу R 2 . Наблюдаемое (фактическое) значение критерия Вилкоксона рассчитывается по формуле W = .
Пример. Фирме предъявлен иск о дискриминации сотрудников по признаку пола. Требуется, используя представленные данные о заработной плате (табл. 19), определить на 5%-ном уровне значимости, имеют ли оба распределения одинаковую медиану.
Таблица 19
Данные о дискриминации сотрудников по полу
| Месячная заработная плата, тыс руб. | |||||||||||
| Женщины | 11,2 | 10,5 | 8,3 | 10,2 | 14,4 | 8,5 | 5,0 | ||||
| 7,5 | = 43,5 | ||||||||||
| Мужчины | 9,1 | 18,3 | 14,1 | 21,9 | 10,5 | 13,8 | 14,6 | 8,6 | 13,4 | 10,6 | |
| 7,5 |
Поскольку нет оснований полагать, что месячная заработная плата у одной группы сотрудников больше, чем для другой, нулевая и альтернативная гипотезы формулируются как двусторонние.
Загрузка...