Теория оболочек. Безмоментная теория расчета тонкостенных оболочек. Основные определения и допущения

Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. Выбор формы детали, узла или сооружения определяется многими факторами: их назначением, условиями работы, технологией изготовления, стоимостью, а также методами расчета. Одним из самых распространенных типов современных и перспективных конструкций являются тонкостенные оболочки. Тонкие пластины и оболочки находят исключительно широкое применение в конструкции самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надежных совершенных конструкций непосредственно зависит от уровня развития теории тонких пластин и оболочек.

Тонкая оболочка может быть определена как тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Таким образом, для оболочечных конструкций характерна тонкостенность .

К оболочкам относятся, в частности, тонкостенные пространственные системы, очерченные по криволинейным поверхностям. Оболочки способны выдерживать разнообразные виды нагрузок и обеспечивать изоляцию от окружающей среды. Им можно придать обтекаемую форму и на их основе получить относительно легкие конструкции, что имеет огромное значение в авиакосмической промышленности

Снижение материалоемкости конструкции - важный фактор для многих машин и агрегатов. Выгодно это и в строительных сооружениях. Оболочки позволяют эффективно решать проблему минимизации массы.

В настоящее время оболочки можно видеть повсюду. Высотные здания и телебашни, спортивно-концертные комплексы, крытые стадионы и рынки, цистерны и резервуары, трубопроводы и градирни, самолеты и ракеты, надводные и подводные корабли, автомобили в существенной части состоят из оболочек. Транспортные конструкции характеризуются не только возможностью достижения высоких скоростей, аэродинамическим совершенством форм, грузоподъемностью. Они воплощают также идеи оптимальности, экономичности, весового совершенства.

Оболочки как элементы конструкций известны давно. Это и паровой котел, и водопровод в древнем Риме. С давних времен известны емкости для хранения жидкостей и зерна, криволинейные своды перекрытий в строительстве. Но решающую роль в самых различных областях современной техники оболочки стали играть последние несколько десятилетий.

Термин "оболочка" относится к числу перегруженных и в него можно вкладывать разный смысл. Далее под оболочками понимаются конструкции, способные выполнять силовые, эксплуатационные, технологические, архитектурные и эстетические функции.

При математическом моделировании с понятием оболочки в первую очередь связывается представление о геометрической поверхности . В механике деформируемого твердого тела и строительной механике классификация объектов (тел) основана на особенностях их формы и соотношении характерных размеров.

Принято различать и выделять элементы конструкций, один размер которых намного больше двух других. Это стержни, кольца, арки. Тела, у которых один размер намного меньше остальных, образуют класс оболочек и пластин.

Основная проблема теории тонких упругих оболочек состоит в сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной задачи. Таким образом, развитие общей теории тонких упругих пластин и оболочек идет по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С.А. Амбарцумяна могут быть объединены в три группы: метод гипотез, метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки и асимптотический метод. Все эти методы интенсивно развиваются, дополняя друг друга.

Список обозначений

a 1 , a 2 - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности S o оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a 1 ─ продольная, a 2 -окружная координаты; z ─ координата по нормали

к S;

А 1 , А 2 -коэффициенты Лямэ; k 1 , k 2 -главные кривизны;

U, V, W- компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки;

u, v, w- компоненты вектора перемещений точек поверхности S o ;

q 1 , q 2 - углы поворота нормали

;

e jk - компоненты тензора деформаций;

E 11 , E 22 , E 12 - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a 1 и a 2 и сдвиг;

K 11 , K 22 , K 12 - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение;

T 11 , T 22 , S- тангенциальные внутренние усилия, приведенные к S o: усилия растяжения-сжатия и сдвига;

M 11 , M 22 , H- изгибающие и крутящий моменты;

Q 11 , Q 22 - перерезывающие силы;

q 1 , q 2 , q 3 - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S;

E, n- модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки;

y j -унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

f j - операторы правых частей канонических систем ОДУ;

Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем

h- толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной.

Обозначим через R 1 , R 2 - главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки S. R=min {R 1 , R 2 }.

Основным геометрическим параметром оболочки является параметр тонкостенности или относительная толщина, определяемый отношением e=h/R.

Принята достаточно условная классификация оболочек по ее толщине на тонкие, средней длины и толстые оболочки.

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S + и S - называется ее срединной поверхностью.

Криволинейные, ортогональные системы координат

Правило дифференцирования базисных векторов криволинейной ортогональной системы координат определяется следующим образом:

e s,t = - (H t,s /H s) e t - d st ÑH t

Ñ = e m (…), m / H m

Здесь H m - параметры Ляме координатной системы, имеющие вид

= (r , i) 2 ; Hi = ½ r , i ½ .

Здесь r , I - радиус - вектор произвольной точки тела оболочки. В частности:

e 1,1 = (H 1,1 /H 1) e 1 - (H 1,1 /H 1) e 1 - (H 1,2/ H 2) e 2 - (H 1,3 /H 3) e 3

e 1,2 = (H 2,1 /H 1) e 2 ; e 3,2 = (H 2,3 /H 3) e 2 ; H i (a 1 , a 2 , a 3)

Запишем условие совместности, которое в принятых обозначениях имеет вид:

(e 1,1), 2 = (e 1,2), 1

(e 1,2), 1 = ((H 2,1 /H 1) e 2), 1 = (H 2,1/ H 1), 1 e 2 + (H 2,1 /H 1) (H 1,2 /H 2) e 1 ;

(e 1,1), 2 = - [ (H 1,2/ H 2) e 2 + (H 1,3/ H 3) e 3 ], 2 =

= - (H 1,2 /H 2), 2 e 2 + (H 1,2 /H 2) ((H 2,1 /H 1) e 1 + (H 2,3 /H 3) e 3) -

(H 1,3 /H 3), 2 e 3 - (H 1,3 /H 3) (H 2,3 /H 3) e 2

Тогда, приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим.

Теория расчета тонких оболочек вращения

При проектировании стальных оболочек возникает много общих конструктивных и расчетных вопросов, не зависящих от специфичности технологического назначения оболочек. Рассмотрим поэтому теорию расчета оболочек вне зависимости от их технологического назначения.

Поверхность оболочки вращения имеет ось симметрии и два радиуса кривизны, перпендикулярных поверхности: R 1 — меридиональный радиус, образующий кривую вращения, и R 2 — кольцевой радиус вращения, имеющий начало на оси симметрии. Углы φ (широта) и а (долгота) соответственно характеризуют местоположение радиусов.

Шаровая поверхность характеризуется соотношением R 1 = R 2 ; цилиндр — соотношениями R 1 = ∞, R 2 = r и φ = n/2; конус соотношениями = R 1 = ∞, R 2 sin φ = r и φ = const (постоянный угол).

Рассмотрим вырезанный элемент оболочки (удаленный от краев) толщиной δ со сторонами dS 1 и dS 2 , на площадь которого действует равномерно распределенная нагрузка р. Оказывается, что в тонких оболочках, которые характеризуются малым отношением толщины оболочки к ее радиусу (δ/R < 1/30) условия равновесия могут быть соблюдены при наличии только осевых сил — меридиональных Т 1 и кольцевых T 2 , направленных по касательной к срединной поверхности оболочки. Эти силы представляют собой равнодействующие нормальных напряжений, приложенных к сторонам элемента

Возьмем сумму проекций всех сил по направлению радиуса кривизны.

По условию равновесия эта сумма должна равняться нулю:

Так как при малых углах

то, разделив обе части уравнения на dS 1 dS 2 получим:

Выразив и T 2 через напряжения, получим основное уравнение тонких гибких оболочек

σ 2 — кольцевое напряжение.

Для цилиндрической оболочки, у которой R 1 = ∞, получим кольцевые напряжения

Для шаровой оболочки, у которой радиус во всех направлениях один и тот же (R 1 = R 2 = R), условия работы каждого элемента также во всех направлениях одинаковы и, следовательно:

Таким образом, при одинаковом радиусе шаровая оболочка испытывает в 2 раза меньшее напряжение, чем цилиндрическая.

Общее уравнение (2.Х) содержит два неизвестных σ 1 и σ 2 , вследствие чего необходимо иметь второе уравнение. Это уравнение можно получить, рассматривая сечение оболочки по параллельному кругу и приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось симметрии:

Подставляя равенство (5.Х) в уравнение (2.Х), устанавливаем соотношение между кольцевыми и меридиональными напряжениями

Полученные уравнения тонких оболочек, выведенные из условий равновесия при наличии лишь осевых сил (меридиональных и кольцевых усилий), предполагают, что оболочка совершенно гибкая, т. е. что жесткость ее в отношении изгиба и кручения равна нулю.

Напряжения в такой безмоментной оболочке равномерно распределены по сечению; имеется также свобода осевой деформации. Такие предпосылки работы оболочки справедливы для участков ее, расположенных вдали от опорных закреплений или мест перегибов, т. е. от мест, где прерывно меняется центр радиуса кривизньи R 1 или меняется толщина оболочки, словом, от всех тех мест, где меняются условия для осевой деформации.

В этих местах появляются распорные силы и «краевые» изгибающие моменты, вызывающие изгиб оболочки вследствие стеснения деформаций в условиях неразрывности сечения. Изгибающие моменты распространяются на сравнительно узкую зону оболочки, быстро затухая вследствие того, что деформациям оболочки приходится преодолевать упругое сопротивление соседних частей (аналогично на упругом основании).

Определение этих моментов и поперечных сил из условия неразрывности сечения сопрягаемых оболочек представляет собой дважды статически неопределимую задачу 1 .

Чем резче нарушение гладкой поверхности оболочки, тем больше дополнительные изгибающие моменты и поперечные силы. Поэтому при конструировании следует избегать резких перегибов в местах сопряжения оболочек. В вынужденных по конструктивным соображениям случаях таких соединений сопряжения следует подвергать проверке и в случае необходимости усилить. Обычно усиление заключается в утолщении стенки листа в месте перегиба или в постановке распорного кольца.

1 С. П. Тимошенко, Пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1948; Е. Н, Лессиг, А. Ф. Лилеев, А. Г. Соколов, Стальные листовые конструкции, Госстройиздат, 1956; К. К. Муханов, Прикладные методы расчета сопряжений оболочек стальных конструкций, сборник трудов № 7 МИСИ, Госстройиздат, 1950.

Изложение общей моментной теории оболочек можно найти в книге А. И. Лурье, Статика тонкостенных упругих оболочек, Гостехиздат, 1947.

«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов

Основные положения теории оболочек

Большинство элементов инженерных конструкций в расчетной схеме, подлежащих расчету на прочность, как это уже было отмечено, связаны с расчетом бруса, пластинокили оболочек.

Предыдущие разделы были достаточно подробно посвящены вопросам расчета стержней и стержневых систем. Настоящий раздел книги посвящен различным вопросам расчета пластинок и оболочек.

Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности .

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной .

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машиностроении - это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве - покрытия и перекрытия,навесы, карнизы; в кораблестроении - корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении - фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике - защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Если срединная поверхность оболочки образует поверхность вращения в форме цилиндра, то оболочку называют цилиндрической .

К схеме осесимметричной цилиндрической оболочки сводится очень много инженерных конструкций, в том числе: котлов, баков, нефтепроводов, газопроводов, деталей машин и др.

Задача о расчете тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует.

Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

Если оболочка имеет резкий переход и жесткие защемления и, кроме того, нагружена сосредоточенной силой и моментами, то в местах крепежа оболочки, резких изменений формы, и в местах действия сосредоточенных сил и моментов возникают интенсивные напряжения, обусловленные изгибным эффектом . Учет изгибных эффектов можно получить в рамках моментной теории оболочек.

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины h оболочки к ее радиусу R , тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выполняются расчеты по безмоментной теории.

Отметим, что оболочка считается тонкой , если h /R ≤ 1/20.

Следовательно, при расчете на прочность тонких оболочек в зависимости от характера распределения внешних нагрузок, опорных закреплений, применяется или безмоментная или моментная теория. При этом предполагается равномерное распределение напряжений по продольным и поперечным сечениям оболочек (отсутствие в этих сечениях изгибающих, крутящих моментов и поперечных сил).

При осесимметричной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы. Определение усилий по безмоментной теории производится достаточно точно на расстоянии, превышающем величину (3÷ 5)от мест скачкообразного изменения формы или площади сечения, жестких контурных закреплений или от места приложения внешних сосредоточенных сил и моментов. Вблизи указанных мест возникают дополнительные напряжения от изгибного эффекта.

В моментной и безмоментной теории тонких оболочек или, так называемой технической теории оболочек , состоящей в резком различии их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность упрощения теории путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е. гипотезам плоских сечений и гипотезам “ненадавливания ” слоев оболочки друг на друга.

Эти гипотезы позволяют свести трехмерную задачу механики сплошной среды к двумерной, подобно тому как в теории стержней трехмерная задача сведена к одномерной.

Оболочки, к которым применимы упомянутые выше гипотезы, называются тонкими, а те, к которым эти гипотезы не применимы, называются толстыми .

Граница между тонкими и толстыми оболочками условны и определяются отношением h /R ≈1/ 20.

В тех случаях, когда h /R ≥ 1/20 для получения приемлемых результатов по точности применяется аппарат механики сплошной среды, в частности теории упругости или пластичности в зависимости от постановки задачи.

Тонкостенная осесимметричная оболочка

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения толщина, которой мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности (рис.8.1) .

При расчете тонкостенных оболочек все нагрузки, действующие на них, прикладывают к срединной поверхности оболочки.

К тонким оболочкам могут быть отнесены такие часто встречающиеся элементы конструкций как резервуары, цистерны, газовые баллоны, корпуса аппаратов химических агрегатов и др.

При расчете таких элементов конструкций используется безмоментная теория оболочек , основные положения которой заключаются в следующем :

1. нагрузки, действующие на поверхности оболочки, могут считаться перпендикулярными им и симметричными относительно оси вращения оболочки;

2. вследствие малой толщины оболочки сопротивление изгибу отсутствует (изгибающий момент не возникает);

Из оболочки, изображенной на рис.8.1 выделим двумя меридиональными плоскостями nn 1 n 2 и nn 3 n 2 , (т.е. плоскостями проходящими через ось симметрии оболочки), с углом dφ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки BC и AD , элемент ABCD .

Радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим через R 2 , а радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через R 1 . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням AB и CD , соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями σ t . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням B С и AD , называются меридиональными напряжениями σ s . Кроме напряжений σ s и σ t . на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления q , перпендикулярного поверхности ABCD .

Рис.8.1

Основным уравнением безмоментной теории оболочек является уравнение Лапласа , которое имеет следующий вид

где δ - толщина оболочки.

Прежде чем перейдем к рассмотрению различных вариантов определения напряжений в оболочках остановимся на некоторых различиях, вызванных наличием газа или жидкости внутри оболочки.

В случае газового давления величина давления q постоянная во всех точках поверхности оболочки. Для резервуаров, наполненных жидкостью, значение q по их высоте переменно.

Для случая наполнения резервуара жидкостью необходимо учитывать, что если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальные составляющие сил давления равны весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Поэтому давление жидкости в различных сечениях оболочки будет различным, в отличие от давления газа.

Определим напряжения в сферических и цилиндрических оболочках т.к. они наиболее часто используются в промышленности.

Сферическая оболочка

Отсечем часть сферической оболочки нормальным коническим сечением с углом 2φ при вершине и рассмотрим равновесие этой части оболочки вместе с заключенной в ней жидкостью с удельным весом γ. Сферическую часть отделим от основной оболочки плоскостью, перпендикулярной оси симметрии.

Рис.8.2

На рис.8.2 изображена расчетная схема сферической оболочки радиусом R s . Высота отсеченной поверхности . Давление q на отсеченную часть в этом и последующих случаяхравно весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью, который равен

где - высота столба жидкости выше отсеченной части оболочки.

Уравнение равновесия отсеченной части может быть записано, как сумма проекций всех сил на вертикальную ось

В данном уравнении величина G – вес жидкости, заполняющей отсеченную часть сферической оболочки (см. рис.8.2).

где - объем нижней отсеченной части сферической оболочки.

Путем интегрирования объем сферического сегмента может быть определен по формуле

После подстановки уравнения (8.5) в выражение (8.4), и затем, в (8.3), получим конечное уравнение равновесия для сферической части сегмента

Из этого уравнения можно определить величину меридионального напряжения , и, после подстановки в уравнение Лапласа (16.1), найти величину окружного напряжения .

Цилиндрическая оболочка

Рассмотрим цилиндрическую оболочку радиусом , заполненную жидкостью с удельным весом γ (см. рис.8.3).

Рис.8.3

В данном случае цилиндрическая часть отделена от остальной части оболочки сечением, перпендикулярным оси симметрии.

Уравнение равновесия отсеченной части может быть получено, как сумма проекций всех сил на вертикальную ось.

где - вес жидкости, заполняющий отсеченную часть цилиндрической оболочки.

Объем цилиндра с высотой x и радиусом может быть определен по формуле

С учетом этого уравнение равновесия принимает вид

В этом уравнении, также как и в предыдущем случае, одна неизвестная

Для случая цилиндрической оболочки при подстановке в уравнение Лапласа необходимо учесть, что величина , значит

Коническая оболочка

Отсечем часть конической оболочки нормальным коническим сечением с углом 2φ при вершине и рассмотрим равновесие отсеченной части.

Рис.8.4

Как видно из рис.8.4 φ = π /2 - α .

Уравнение равновесия отсеченной части оболочки будет иметь вид

где - вес жидкости, заполняющий отсеченную часть конуса.

С учетом (8.11), выражение (8.10) имеет следующий вид

Возможно отделение сечением не нижней, а верхней части оболочки с последующей записью уравнения равновесия. Это делается для того, чтобы при составлении условий равновесия отсеченного элемента крепление оболочки не попадало в схему отсеченной части. В подобных вариантах во всех рассмотренных случаях изменится знак силы G , т.к. в этом случае ее направление будет совпадать с направлением вертикальной составляющей напряжения .

В этом случае, при расчете величины G , в качестве объема будет браться объем отсеченной верхней части , а при расчете величины q в формулу (8.2) во всех случаях войдет величина - высота столба жидкости в отсеченной нижней части оболочки. В остальном порядок расчета останется неизменным.

В случае, если жидкость находится в сосуде под давлением P , то при расчете величины q добавляется величина давления P . Формула (8.2) будет иметь следующий вид

В некоторых задачах отсеченная часть представляет собой не какой-то один элемент, а два или более состыкованных элемента. При этом вид уравнений равновесия остается неизменным, а изменяется только величина объема верхней или нижней части сосуда, однако, если известны зависимости, определяющие объемы элементов, то найти суммарный объем не представляет затруднения.

На рис.8.5, а показана схема оболочки вращения, состоящей из сферической, цилиндрической и конической оболочек. Крепление оболочки располагается на уровне стыка сферической и цилиндрической оболочек. Сосуд наполнен жидкостью, находящейся под давлением Р .

На рис.8.5, б показан пример построения эпюр напряжения. В левой половине оболочки расположена эпюра , а в правой .

Рис.8.5

Полученные построения справедливы для участков, находящихся на некотором удалении от линии закрепления оболочки и точек сопряжения сфера-цилиндр и цилиндр-конус. В точках сопряжения возникают эффекты, которые не могут быть учтены теорией безмоментного напряженного состояния. Все это также относится и к точкам, непосредственно примыкающим к вершине конуса.

Толстостенный цилиндр

Толстостенным называется такой цилиндр, для которого отношение толщины стенки к внутреннему диаметру не менее 1/20.

Задача о расчете толстостенного цилиндра решается с учетом равномерно распределенного наружного давления и внутреннего давления . Мы исходим из того, что такая нагрузка не может вызвать деформации изгиба цилиндра.

Нормальные напряжения . в сечениях плоскостями, перпендикулярными оси симметрии О цилиндра нельзя считать равномерно распределенными по толщине стенки, как это делается при расчете тонкостенных оболочек вращения (рис.8.6).

Нормальные напряжения действующие по цилиндрической поверхности с радиусом r могут быть одного и того же порядка и даже превышать напряжение, что при тонкостенных цилиндрах невозможно.

Рис.8.6

В поперечных сечениях цилиндра касательные напряжения также предполагаются равными нулю, однако, возможно существование нормальных осевых напряжений , которые возникают как следствие нагружения цилиндра силами, действующими вдоль оси. В дальнейшем мы будем рассматривать открытые цилиндры, т.е. не имеющие днищ. Напряжения в таких цилиндрах равны нулю. Вывод формул расчета напряжений в толстостенных цилиндрах основан на том, что для них соблюдается гипотеза плоских сечений , т.е. поперечные сечения цилиндра, плоские до нагружения , останутся плоскими и после нагружения .

Основными уравнениями для расчета напряжений в толстостенных цилиндрах являются формулы Ламе:

При действии на цилиндр только наружного или внутреннего давления знаки эпюр , во всех точках цилиндра одинаковы. Эпюры изменения радиального и окружного напряжения для случая действия только наружного давления показаны на рис.8.7. Эти напряжения во всех точках цилиндра отрицательны, что соответствует сжатию.

Рис.8.7Рис.8.8

При нагружении внутренним давлением эпюры изменения радиального окружного напряжения показаны на рис.16.8. Окружное напряжение является расширяющим, а радиальное сжимающим.

Анализ формул Ламе показывает, что увеличение толщины не может во всех случаях обеспечить необходимой прочности цилиндра. Поэтому для сосудов высокого давления необходимо искать какие-то другие конструктивные решения. Одним из таких решений является создание составных, соединенных с натягом, цилиндров. Этот прием используется как в технике высоких давлений, так и в артиллерийской практике для упрочнения стволов мощных орудий.

В результате натяга в трубах возникают нормальные напряжения, которые частично компенсируют напряжения в трубе от действия высокого давления.

Составные цилиндры. Автофретирование . Общие положения

Из формул (8.14) и (8.15) следует, что при действии только внутреннего давлениянапряжения в любых точках цилиндра положительны и по абсолютной величине больше напряжений . Наибольшего значения напряжения достигают у точек внутренней поверхности цилиндра, где они равны

В остальных точках напряжения меньше этого значения.

Наибольшее значение можно уменьшить путем применения составных толстостенных цилиндров, состоящих из более тонких труб, надетых друг на друга. При этом наружная труба изготавливается с внутренним диаметром, несколько меньшим наружного диаметра внутренней трубы. Разница между этими диаметрами до сборки принимается до изготовления и называется натягом.

Чтобы соединить цилиндры наружный цилиндр обычно нагревают, он расширяется и появляется возможность одеть его на внутренний цилиндр. Возможно такое охлаждение внутреннего цилиндра в жидком азоте или запрессовка цилиндров друг в друга. После сборки выравнивается температура, наружный цилиндр плотно охватывает внутренний и получается надежное соединение.

В результате натяга в трубах возникают начальные напряжения, причем, чем больше величина натяга, тем больше начальные напряжения.

Способ уменьшения напряжений и, как следствие, повышение прочности толстостенных цилиндров путем замены сплошного цилиндра составным был предложен академиком А.В.Гадолиным .

Обозначим через b и c радиусы наружного цилиндра, через a и b +∆/2 радиусы внутреннего цилиндра, а ∆ - натяг (см. рис.8.9).

Рис.8.9

При одинаковой длине соединенных цилиндров контактное давление p k равномерно распределено по посадочной поверхности.

Подставив в формулы(8.14) и (8.15) параметры, характеризующие напряжения в наружном цилиндре получим

Аналогично можно определить напряжения, возникающие на посадочной поверхности внутреннего цилиндра

Если внутренний и наружный цилиндры изготовлены из одного и того же материала, то контактное давление p k определяется зависимостью

где Е – модуль упругости материала внутреннего и наружного цилиндров.

За счет натяга в составном цилиндре возникают начальные напряжения, характер изменения которых по наружному сечению показан на рис.8.10.

Рис.8.10 Рис.8.11

При приложении внутреннего рабочего давления на начальные напряжения накладываются рабочие напряжения (показываются на рис.8.11 пунктиром). Суммарные напряжения показаны на рис.8.11.

В точках, расположенных на внутренней поверхности составного цилиндра, суммарное окружное напряжение получается меньше, чем в тех же точках целого цилиндра.

Оптимальное значение натяга можно определить из условия равнопрочности внутреннего и наружного цилиндров, оптимальное значение радиуса контактной поверхности – из условия наибольшего снижения эквивалентного напряжения в опасной точке.

В соответствии с этим оптимальный радиус контактной поверхности:

Натяг соответствующий этому радиусу и внутреннему давлению p в :

Необходимо отметить, что детали, предназначенные для соединения с натягом, должны изготавливаться с большой точностью, т.к. даже небольшое отклонение от номинальной величины натяга может привести к снижению прочности соединения.

В технике высоких давлений, кроме посадки, применяется так называемое автофретирование , которое заключается в предварительной нагрузке цилиндра внутренним давлением, больше рабочего, с таким расчетом, чтобы во внутренних слоях цилиндра возникали пластические деформации. После снятия давления во внешних слоях цилиндра сохраняются упругие напряжения растяжения, а во внутренних слоях возникают деформации сжатия (см. рис.8.12).

В дальнейшем при нагрузке цилиндра давлением остаточные напряжения суммируются с рабочим так, что во внутренних слоях имеет место чистая разгрузка. Материал цилиндра не получает пластических деформаций, если только рабочее давление не превышает давление предварительного обжатия.

Рис.8.12

Пример расчета элемента тонкостенной оболочки вращения

Рис.8.13

Решение:

Рассмотрим отсеченную часть с действующими на нее силовыми факторами (см. рис.8.4).

Проводим через точку А первое сечение.

; ; ; .

Второе сечение проводим на расстоянии x = 0,15 м.

v = 10 - 0,15 = 9,85 м.

Давление .

В соответствии с уравнением равновесия нижней отсеченной части оболочки (8.13) имеем

В соответствии с уравнением Лапласаимеем,

Радиус кривизны R 2 для конуса равен ∞

Третье сечение проведем через точку В (x = 0,25 м).

Высота столба жидкости над сечением v = 10 - 0,25 = 9,75 м.

Давление .

Решая уравнение равновесия (8.16) имеем

В соответствии с уравнением Лапласа имеем,

Радиус кривизны R 2 для конуса равен ∞

Пример расчета толстостенной стальной трубы

Для толстостенной стальной трубы, имеющей внутренний диаметр d = 0,03 м и наружный диаметр D = 0,18 м, и изготовленной из пластичного материала с σ T = 250 МПа и с коэффициентом Пуассона μ = 0,5, требуется:

1. Определить давление p T , при котором в материале трубы начнется пластическое деформирование;

2. Определить предельное внутреннее давление p ПР , при котором весь материал будет находиться в пластическом состоянии;

3. Построить эпюры распределения напряжений σ p , σ φ , σ z по толщине стенки для двух состояний трубы, рассмотрены в п. 1 и 2;

4. Определить допускаемое значение давления p a = p ДОП при коэффициенте запаса прочности n = 1,5.

Решение.

1. По формуле определяем давление, при котором на внутренней поверхности трубы появятся пластические деформации:

2. С учетом того, что p a = p T , из формул

определяем напряжения, соответствующие началу пластического течения:


		- 140,5
		- 32
		- 5,0

Эпюры напряжений σ p , σ φ , σ z для упругого состояния материала трубы приведены на рис. 1, а .

Рассмотрим теперь предельное состояние трубы, когда весь материал трубы находится в пластическом состоянии. Предельное давление в этом случае определяется по формуле

Рис.1

3. Для определения напряжений σ p , σ φ , σ z воспользуемся формулами

Данные для числовых расчетов сводим в таблицу


- 517,8	- 228,9	- 373,4
- 317,6	- 28,6	- 173,1
- 117,5	- 171,7

Для более точного построения эпюр и определим точки, в которых указанные напряжения равны нулю:

для эпюры

Общие понятия об оболочках. Классификация оболочек. Гипотезы в теории оболочек

Оболочка - конструктивный элемент, ограниченный двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми h намного меньше двух других размеров b и I (рис. 21.1, а). Поверхность, равноотстоящую от наружной и внутренней поверхностей оболочки, назовём срединной поверхностью. Будем рассматривать оболочки постоянной толщины h. Тогда геометрия оболочки будет полностью определена, если заданы форма срединной поверхности, толщина оболочки и граничный контур (рис. 21.1, а).

Нормальным сечением в некоторой точке М назовём сечение плоскостью, содержащей нормаль к поверхности в этой точке (рис. 21.1, б). Это сечение является некоторой кривой линией на поверхности оболочки. В дифференциальной геометрии поверхностей доказано, что в любой точке М поверхности можно указать два ортогональных (взаимно перпендикулярных) направления, для которых нормаль к поверхности, проведённая в соседней точке, пересекает нормаль в точке М. Эти направления обозначены 1-1 и 2-2, это главные линии кривизны. Если провести вдоль этих направлений линии на поверхности, то можно получить два семейства ортогональных линий, называемых линиями кривизны. Через заданную точку М проходит по одной линии каждого семейства. На рис. 21.1, б обозначены: R и Ri - главные радиусы кривизны, 0 и Oi - центры кривизны.

Величины к - HR, кг = l/i?2 назовём главными кривизнами, одна из них имеет максимальное, а другая - минимальное значение. Произведение главных кривизн К = kfa назовём гауссовой кривизной.

Классифицируем оболочки по гауссовой кривизне.

Оболочки нулевой гауссовой кривизны (К = 0) бывают оболочками вращения (конические, рис. 21.2, а) и оболочками переноса - трансляционными (цилиндрические, рис. 21.2, б).

Оболочки двоякой кривизны бывают оболочками положительной гауссовой кривизны (К > 0) и отрицательной гауссовой кривизны (К 0). Различают оболочки положительной гауссовой кривизны: вращения (рис. 21.2, в ) и трансляционные (рис. 21.2, г), аналогично для оболочек отрицательной гауссовой кривизны (рис. 21.2, д, е ).

Заметим, что у оболочек положительной гауссовой кривизны (рис. 21.2, в, г) главные кривизны к и kj одного знака (у них центры кривизн расположены по одну сторону от поверхности), а у оболочек отрицательной гауссовой кривизны (рис. 21.2, д, ё) главные кривизны к и ^2 разных знаков (у них центры кривизн расположены по разные стороны от поверхности). Особо следует выделить складчатые поверхности (рис. 21.3). Далее будем рассматривать тонкие оболочки, у которых отношение толщины оболочки h к минимальному

главному радиусу кривизны /

В теории оболочек вводят следующие гипотезы.

1. Гипотеза об отсутствии давления между слоями оболочки. Нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями.
2. Гипотеза прямых нормалей. Прямолинейный элемент, перпендикулярный к срединной поверхности оболочки, остаётся прямым и перпендикулярным к деформированной срединной поверхности и не изменяет свою длину.

Заметим, что аналогичные гипотезы вводятся и в теории пластинок.

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной .

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машиностроении - это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве - покрытия и перекрытия, навесы, карнизы; в кораблестроении - корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении - фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике - защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

Отметим, что оболочка считается тонкой , если h/R≤1/20.

При осесимметричной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы. Определение усилий по безмоментной теории производится достаточно точно на расстоянии, превышающем величину (3÷5) от мест скачкообразного изменения формы или площади сечения, жестких контурных закреплений или от места приложения внешних сосредоточенных сил и моментов. Вблизи указанных мест возникают дополнительные напряжения от изгибного эффекта.

В моментной и безмоментной теории тонких оболочек или, так называемой технической теории оболочек , состоящей в резком различии их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность упрощения теории путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е. гипотезам плоских сечений и гипотезам “ненадавливания” слоев оболочки друг на друга.

Граница между тонкими и толстыми оболочками условны и определяются отношением h/R≈1/20.

В тех случаях, когда h/R≥1/20 для получения приемлемых результатов по точности применяется аппарат механики сплошной среды, в частности теории упругости или пластичности в зависимости от постановки задачи .

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения, толщина которой мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности (рис.1).

При расчете таких элементов конструкций используется безмоментная теория оболочек , основные положения которой заключаются в следующем:

2. вследствие малой толщины оболочки сопротивление изгибу отсутствует (изгибающий момент не возникает);

Из оболочки, изображенной на рис.1 выделим двумя меридиональными плоскостями nn 1 n 2 и nn 3 n 2 , (т.е. плоскостями проходящими через ось симметрии оболочки), с углом dφ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки BC и AD , элементABCD .

Радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим через R 2 , а радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через R 1 . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням AB и CD , соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями σ t . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням BС и AD , называются меридиональными напряжениями σ s . Кроме напряжений σ s и σ t . на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления q, перпендикулярного поверхности ABCD .

Рис.1 Тонкостенная осесимметричная оболочка

Основным уравнением безмоментной теории оболочек является уравнение Лапласа , которое имеет следующий вид

где δ - толщина оболочки,

σ t - окружное напряжение,

σ s – меридиональное напряжение,

R 2 - радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD ,

R 1 - радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану.

Определим напряжения в сферических и цилиндрических оболочках, т.к. они наиболее часто используются в промышленности.