ค่าจ้างของพนักงานฝ่ายผลิตจะกำหนดตามอัตราค่าจ้างรายชั่วโมง ขึ้นอยู่กับสภาพการทำงาน ประเภทคุณสมบัติ และรูปแบบของค่าตอบแทน การกระจายคนงานตามประเภทและสภาพการทำงานที่แน่นอนขึ้นอยู่กับลักษณะของการผลิตเฉพาะ สำหรับองค์กรวิศวกรรมเครื่องกลจะมีการสังเกตการกระจายดังต่อไปนี้โดยประมาณ:
- 1) ประมาณ 80% ของคนงานฝ่ายผลิตโดยเฉลี่ยทำงานในงานเย็นที่มีสภาพการทำงานปกติ และ 20% ทำงานในงานที่ร้อนและงานหนัก
- 2) ของพนักงานฝ่ายผลิตทั้งหมด ประมาณ 65% ทำงานตามอัตราชิ้น และส่วนที่เหลือ - ตามเวลา
- 3) โดยทั่วไปคนงานแต่ละกลุ่มจะแบ่งกันเองเป็นเปอร์เซ็นต์ตามประเภทคุณสมบัติ (ตัวอย่างการกระจายแสดงไว้ในบรรทัดล่างสุดของตารางที่ 2)
เนื่องจากโครงการนี้ต้องการสิ่งแรกสุดในการกำหนดค่าจ้างพื้นฐานของคนงานหลัก จึงเป็นจำนวน (ช) ที่ควรกระจายตามสภาพการทำงานและประเภทคุณสมบัติ ในการคำนวณตัวเลขที่เกี่ยวข้อง ขอแนะนำให้ใช้แผนภาพ (ต้นไม้) ที่แสดงในรูปที่ 1 1. มีการใช้การกำหนดดังต่อไปนี้: Chn - จำนวนคนที่ทำงานภายใต้สภาวะปกติ Chn - จำนวนคนที่ทำงานในสภาวะที่ยากลำบาก Chsd - จำนวนคนที่ทำงานในระบบค่าจ้างแบบชิ้น Chpv - จำนวนคนที่ทำงานในระบบค่าจ้างตามเวลา Chsd และ Chvp - จำนวนคนงานที่มีหมวดหมู่ i-th a1 คือสัมประสิทธิ์ที่คำนึงถึงส่วนแบ่งของคนงานที่มีหมวดหมู่ i-th ในกลุ่มที่เกี่ยวข้อง
ค่าเศษส่วนของตัวบ่งชี้ Chnd, Chnvp- ฯลฯ ควรปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็มเพื่อให้ผลรวมสุดท้ายเท่ากับมูลค่ารวม - ช. สันนิษฐานว่าจำนวนคนงานเสริมมีการกระจายตามเงื่อนไขการทำงานและประเภทในลักษณะเดียวกับจำนวนคนงานหลัก
|
อัตราภาษีรายชั่วโมงถู |
||||||
|
ในงานเย็นที่มีสภาพการทำงานปกติ (ชน์):. คนงานเป็นชิ้น (Chnsd) |
Znsd3 = =5.12 |
|||||
|
คนทำงานตามเวลา (Chnpv) |
แซดเอ็นพีวี3 = =4.78 |
แซดเอ็นพีวี4 = =5.36 |
Znpv5 = =6.10 |
|||
|
ระหว่างการทำงานที่ร้อนและหนัก (Ht): คนงานเป็นชิ้น (Ch tsd) |
||||||
|
คนทำงานตามเวลา (Chtpv) |
||||||
|
การกระจายตัวของคนงานตามประเภท, % |
||||||
|
สัมประสิทธิ์ bi โดยคำนึงถึง จำนวนคนงานในหมวดหมู่ที่เกี่ยวข้อง |
ช=360111 คน Chn=0.8*360=288 คน H t=0.2*360=72, ต่อ
Chnsd=0.65*288=187 ต่อ H tsd=0.65*72=46, ต่อ
Chnsd1 =187*0.05=9 ต่อ H tsd1=46*0.05=2, ต่อ
Chnsd2 =187*0.12=22 ต่อ H tsd2=46*0.12=5, ต่อ
Chnsd3 =187*0.5=93 ต่อ H tsd3=46*0.5=23 ต่อ
Chnsd4 =187*0.2=37 ต่อ H tsd4=46*0.2=9, ต่อ
Chnsd5 =187*0.1=18 ต่อ H tsd5=46*0.1=4, ต่อ
Chnsd6 =187*0.03=5 ต่อ H tsd6=46*0.03=1, ต่อ
Chnpv=0.35*288=100 คน H tpv =0.35*72=25, ต่อ
Chnpv1 =100*0.05= 5 คน H tpv1=25*0.05=1, ต่อ
Chnpv2=100*0.12=12 คน H tpv2=25*0.12=3 ต่อ
Chnpv3=100*0.5=50 คน H tpv3=25*0.5=12 ต่อ
Chnpv4=100*0.2=20 ต่อ H tpv4=25*0.2=5 ต่อ
Chnpv5 =100*0.1=10 คน H tpv5=25*0.1=2, ต่อ
Chnpv6 =100*0.03=3 ต่อ H tpv6=25*0.03=1, ต่อ
กองทุนเวลาทำงานของคนงานหนึ่งคนถูกกำหนดโดยสูตร:
วันตามปฏิทินอยู่ที่ไหน 365 วัน;
วันหยุดประจำปี 54 วัน;
วันหยุดประจำปี 13 วัน;
วันหยุดพักร้อน 24 วัน;
วันลาหยุดงานเนื่องจากเจ็บป่วย 2 วัน
วันที่หยุดงานเนื่องจากหน้าที่ราชการ 1 วัน
ระยะเวลาของวันทำงาน 8 ชั่วโมง
วันทำงานลดเวลาก่อนวันหยุดสุดสัปดาห์และวันหยุดคือ 1 ชั่วโมง
จำนวนพนักงานซ่อม
จำนวนพนักงานซ่อมถูกกำหนดโดยสูตร:
โดยที่คือค่าสัมประสิทธิ์การปฏิบัติตามมาตรฐานการผลิตสำหรับพนักงานซ่อมซึ่งอยู่ในช่วง 1.06-1.1
การกระจายตัวของคนงานตามอาชีพและประเภท
การกระจายจำนวนพนักงานซ่อมตามประเภทและอาชีพโดยคำนึงถึงปริมาณการผลิตตามประเภทงานตามตารางที่ 4
ตารางที่ 4 - การกระจายตัวของคนงานตามประเภทและประเภทของงาน
การคำนวณหมวดหมู่ค่าจ้างเฉลี่ยของคนงาน
หมวดหมู่ค่าจ้างเฉลี่ยของคนงานคำนวณโดยใช้สูตร:
อันดับ (32)
โดยที่ 4,5,6 เป็นประเภทงาน
จำนวนพนักงานซ่อมในประเภทที่เกี่ยวข้อง คน
ผลลัพธ์ที่ได้ส่วนใหญ่มักเป็นค่าเศษส่วนและไม่สามารถปัดเศษเป็นจำนวนเต็มได้ ขอแนะนำให้เขียนหมวดหมู่ภาษีเฉลี่ยเป็นเศษส่วนทศนิยม โดยตัวเลขทั้งหมดแสดงด้วยเลขโรมันและตัวเลขเศษส่วนด้วยเลขอารบิค เช่น III, 5
การเลือกโหมดการทำงานและการพักผ่อน
เวลาทำงานและเวลาพักของพนักงานองค์กรได้รับการควบคุมโดยกฎหมายแรงงาน ระบบการพักงานจะเหมาะสมที่สุดหากช่วยให้คุณเพิ่มระยะเวลาการทำงานที่มั่นคงได้ ซึ่งส่วนใหญ่ทำได้โดยการเลือกเวลาที่เหมาะสมสำหรับช่วงพักกลางวัน รวมถึงเวลาพักเพิ่มเติมด้วย
เวลาที่ดีที่สุดสำหรับการพักกลางวันคือช่วงกลางกะ ควรกำหนดความถี่และระยะเวลาของการหยุดพักระยะสั้นที่มีการควบคุมโดยขึ้นอยู่กับปริมาณงานและจังหวะการทำงานของไซต์การผลิต สำหรับงานที่เบาและมีจังหวะการทำงาน แนะนำให้พัก 5 นาที 2-4 ครั้ง สำหรับงานที่หนักและมีจังหวะการทำงานสูง แนะนำให้พัก 10 นาที 4-5 นาที สำหรับความตึงเครียดทางประสาทสูง แนะนำให้พัก 15 นาที 4 ครั้ง สำหรับ 7- กะการทำงาน 8 ชั่วโมง
ในการสร้างชุดการกระจายคนงานตามระดับทักษะ เราจะแยกกลุ่มคนงานออกเป็นสามกลุ่ม: มีคุณสมบัติต่ำ (ประเภทภาษีที่ 2) คุณสมบัติปานกลาง (พร้อมหมวดหมู่ภาษีที่ 3 และ 4) และคุณสมบัติสูง (หมวดหมู่ภาษีที่ 5 และ 6) ) จากนั้นจึงสร้างตาราง
การกระจายตัวของคนงานตามระดับฝีมือ
ชุดการกระจายคนงานตามหมวดหมู่ภาษีเป็นชุดแบบไม่ต่อเนื่องแบบแปรผัน เนื่องจากคุณลักษณะที่เป็นรากฐานของการก่อสร้างนั้นเป็นเชิงปริมาณ เช่น แสดงเป็นตัวเลข ชุดการกระจายตัวของคนงานตามระดับทักษะนั้นมีสาเหตุมาจากคุณลักษณะที่เป็นรากฐานของการก่อสร้างนั้นมีคุณภาพเช่น ไม่มีการวัดเชิงปริมาณและสามารถแสดงออกมาเป็นคำพูดเท่านั้น
ปัญหาทั่วไป2
ข้อมูลต่อไปนี้เป็นที่ทราบเกี่ยวกับเงินเดือนของพนักงานของหนึ่งในองค์กรรูเบิล ในปี 2548:
สร้างชุดการกระจายของพนักงานในองค์กรตามระดับเงินเดือน โดยเน้นกลุ่มคนงานสี่กลุ่มในช่วงเวลาที่เท่ากัน
ระบุตามเกณฑ์การจัดกลุ่มชุดการแจกแจงจะถูกสร้างขึ้น: การระบุแหล่งที่มาหรือเชิงปริมาณ
เมื่อพิจารณาคุณลักษณะที่กำลังศึกษา เราจะนำเงินเดือนของคนงานมาสร้างชุดการแจกแจงตามคุณลักษณะนั้นโดยมีช่วงปิดที่เท่ากัน ขนาดของช่วงเวลาในกรณีนี้ถูกกำหนดโดยสูตร:
ที่ไหน 
และ 
– ตามลำดับมูลค่าสูงสุดและต่ำสุดของเงินเดือนของพนักงาน
n– จำนวนกลุ่ม
ตัวเศษจะเรียกว่าช่วงการเปลี่ยนแปลง
เราก่อตั้งกลุ่มคนงานสี่กลุ่ม จากนั้นค่าช่วงเวลาจะเท่ากับ:
ตอนนี้เราสร้างกลุ่มคนงานที่มีเงินเดือนต่างกันตามจำนวนนี้ กลุ่มแรกจะมีเงินเดือนตั้งแต่ 1,300 ถึง 1,525 รูเบิล กลุ่มที่สองจาก 1,525 ถึง 1,750 รูเบิล เป็นต้น
ผลลัพธ์ที่ได้คือตาราง:
การกระจายตัวของพนักงานตามเงินเดือนถู
ชุดการแจกจ่ายนี้สร้างขึ้นบนพื้นฐานเชิงปริมาณ โดยนำเสนอในรูปแบบช่วงเวลา ดังนั้นจึงเป็นชุดการแปรผันตามช่วงเวลา
ดังที่เห็นได้จากตาราง อนุกรมการแจกแจงประกอบด้วยสององค์ประกอบ: ก) ค่าของคุณลักษณะ b) จำนวนหน่วยสัมบูรณ์ของคุณลักษณะ (ความถี่)
เพื่อความชัดเจนยิ่งขึ้น สามารถเสริมค่าสัมบูรณ์ด้วยตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ (ความถี่) ที่แสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ดังนั้นการสรุปข้อมูลในรูปแบบของการจัดกลุ่มทำให้สามารถศึกษาองค์ประกอบของประชากรตามลักษณะที่กำลังศึกษา ประเมินระดับของความแปรผัน และเปรียบเทียบกลุ่มระหว่างกัน
บันทึก. ชุดการแจกจ่ายที่สร้างขึ้นคือตารางกลุ่ม เนื่องจากการก่อสร้างจะขึ้นอยู่กับลักษณะการจัดกลุ่มเดียว
ระดับกิริยาช่วย (ตัวเลือก) – 5 เพราะ มีความถี่สูงสุด ( ฉ=55).
ค่ามัธยฐาน () คือค่าของคุณลักษณะที่แตกต่างกันซึ่งแบ่งประชากรออกเป็นครึ่งหนึ่ง กล่าวคือ อยู่ตรงกลางของซีรีย์จัดอันดับ
ตำแหน่งมัธยฐานในชุด:
ก) ด้วยจำนวนหน่วยคี่:
;
b) ด้วยจำนวนหน่วยคู่:
ในตัวอย่างของเรา ค่ามัธยฐานคืออันดับที่ 4
สูตรคำนวณค่าเฉลี่ยโครงสร้างตามข้อมูลที่จัดกลุ่ม (พร้อมช่วงเวลา):
, (6.21)
โดยที่ขีด จำกัด ล่างของช่วงโมดอล (ช่วงที่มีความถี่สูงสุด) ฉัน– ขนาดช่วง; 
– ความถี่ของช่วงโมดอล พรีโมดัล และหลังโมดัล ตามลำดับ
, (6.22)
โดยที่ขีด จำกัด ล่างของช่วงค่ามัธยฐานซึ่งครึ่งหนึ่งของหน่วยปริมาตรประชากรตั้งอยู่ ฉัน– ขนาดช่วง; – ผลรวมของความถี่ทั้งหมด – ผลรวมของความถี่ที่อยู่ก่อนช่วงค่ามัธยฐาน – ความถี่ของช่วงมัธยฐาน
ตัวอย่างที่ 8ตารางแสดงข้อมูลประสบการณ์การทำงานของพนักงาน 30 คนในโรงงาน
สารละลาย:
ช่วงเวลากิริยาที่มีประสบการณ์การทำงานตั้งแต่ 6 ถึง 12 ปีมีความถี่ 12 จากนั้นโหมดจะเท่ากับ:
ปี.
แฟชั่นโชว์ที่พนักงานร้านค้าส่วนใหญ่มีประสบการณ์ 8.5 ปี
ช่วงค่ามัธยฐาน (ซึ่งประกอบด้วยครึ่งหนึ่งของความถี่ของประชากร เช่น 15 คน) จะต้องมีประสบการณ์ 6 ถึง 12 ปีด้วย
ค่ามัธยฐานคือ:
ปี.
ค่ามัธยฐานแสดงให้เห็นว่าคนงานครึ่งหนึ่งมีประสบการณ์ไม่เกิน 10 ปี และครึ่งหนึ่งมีประสบการณ์มากกว่า 10 ปี
ค่าเฉลี่ยโครงสร้างสามารถกำหนดได้ไม่เพียงแต่โดยสูตรเท่านั้น แต่ยังกำหนดในรูปแบบกราฟิกด้วย: โหมดตามฮิสโตแกรม ค่ามัธยฐานโดยการสะสม
ในการกำหนดโหมดในฮิสโตแกรมแบบกราฟิกจะใช้แท่งสามแท่ง: แท่งสูงสุดและสองแท่งที่อยู่ติดกัน - ทางด้านซ้ายและด้านขวา ภายในคอลัมน์ที่มีความสูงมากที่สุดจะมีการลากเส้นสองเส้น: เส้นแรกเชื่อมต่อมุมขวาบนกับมุมขวาบนของคอลัมน์ก่อนหน้าและเส้นด้านซ้ายเชื่อมต่อกับมุมซ้ายบนของเส้นถัดไป จุดตัดของเส้นเหล่านี้คือโหมดของการแจกแจงซึ่งนำเสนอในรูปแบบของฮิสโตแกรม (รูปที่ 6.1)
รูปที่ 6.1 การแสดงโหมดแบบกราฟิกในฮิสโตแกรมการแจกแจง
เพื่อกำหนดค่ามัธยฐานแบบกราฟิก จะมีการสร้างสะสมและลำดับสุดท้ายของสะสมจะถูกแบ่งครึ่ง เส้นตรงถูกลากผ่านจุดผลลัพธ์ขนานกับแกน abscissa จนกระทั่งตัดกับจุดสะสม จุดตัดของจุดตัดคือค่ามัธยฐานของการแจกแจงแบบกราฟิก (รูปที่ 6.2)
รูปที่ 6.2 การแสดงค่ามัธยฐานสะสมของการแจกแจงแบบกราฟิก
มีความจำเป็นต้องกำหนดด้วยความน่าจะเป็นที่ 0.997 ขีด จำกัด ภายในประเภทคนงานโดยเฉลี่ยในร้านขายเครื่องจักร
ให้เราพิจารณาค่าเฉลี่ยตัวอย่างสำหรับทีมและค่าเฉลี่ยโดยรวม:
ให้เราพิจารณาความแปรปรวนระหว่างอนุกรม:
มาคำนวณข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ย:
ลองคำนวณข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดด้วยความน่าจะเป็น 0.997:
ด้วยความน่าจะเป็นที่ 0.997 สามารถระบุได้ว่าหมวดหมู่คนงานโดยเฉลี่ยในร้านขายเครื่องจักรอยู่ภายใน .◄
ที่ การเลือกอนุกรมซ้ำข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยสำหรับการแชร์ถูกกำหนดโดยสูตร:
การกระจายตัวของส่วนแบ่งระหว่างการดำเนินการอยู่ที่ไหน
ตัวอย่าง.
ชิ้นส่วน 200 กล่องบรรจุใน 40 ชิ้น ในทุกคน เพื่อตรวจสอบคุณภาพของชิ้นส่วน ได้มีการตรวจสอบชิ้นส่วนอย่างต่อเนื่องในกล่อง 20 กล่อง (การสุ่มตัวอย่างแบบไม่ซ้ำกัน) จากการควบคุมพบว่าสัดส่วนชิ้นส่วนที่ชำรุดอยู่ที่ 15% ความแปรปรวนระหว่างชุดงานคือ 49 ด้วยความน่าจะเป็นที่ 0.997 เราจะกำหนดขีดจำกัดภายในสัดส่วนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในชุดกล่อง
เรามาพิจารณาข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ยสำหรับการแชร์:
ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดสำหรับสัดส่วนที่มีความน่าจะเป็น 0.997 คือ:
ด้วยความน่าจะเป็นที่ 0.997 สามารถระบุได้ว่าสัดส่วนชิ้นส่วนที่ชำรุดในชุดงานจะอยู่ในช่วงตั้งแต่ 10.59% ถึง 19.41%
ตัวอย่าง
เพื่อกำหนดความเร็วของการชำระหนี้กับเจ้าหนี้ ได้มีการเลือกเอกสารการชำระเงิน 50 ฉบับโดยการสุ่มตัวอย่างทางกล ซึ่งเวลาเฉลี่ยในการโอนเงินคือ 28.2 วัน โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5.4 วัน จำเป็นต้องกำหนดระยะเวลาเฉลี่ยของการชำระเงินทั้งหมดในระหว่างปีที่กำหนดโดยมีความน่าจะเป็น 0.95
สารละลาย.ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างเล็กน้อย
จากนั้นด้วยความน่าจะเป็น 0.95 สามารถระบุได้ว่าระยะเวลาเฉลี่ยของการชำระหนี้สำหรับองค์กรของทรัสต์นี้คือไม่น้อยกว่า 26.7 วัน (28.2 - 1.49) และไม่เกิน 29.7 วัน (28.2 + 1.49) ◄
ตัวอย่าง
ประชากรทั่วไป N ประกอบด้วย 100,000 หน่วย แบ่งออกเป็น 200 ชุดซึ่งมีปริมาตรเท่ากัน มีการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ทำซ้ำ (m) 50% ของซีรีส์และ 20% ของหน่วยจากแต่ละซีรีส์ ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนแบบอนุกรมกลายเป็น 12 และความแปรปรวนระหว่างอนุกรมคือ 5 มีความจำเป็นต้องกำหนดข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ย
เรากำหนดจำนวนหน่วยทั้งหมดที่เลือกตามลำดับ: จำนวนหน่วยที่ประกอบขึ้นเป็นหนึ่งตัวอย่าง: เมื่อใช้สูตรสำหรับค่าความคลาดเคลื่อนโดยเฉลี่ยสำหรับการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ซ้ำ เราจะพบว่า:
คุณสามารถสร้างตัวอย่างขนาดเท่ากันได้ 100,000 หน่วย โดยเลือก 20% ของซีรีส์ และ 50% ของยูนิตจากแต่ละซีรีส์ ด้วยค่าเดียวกันของค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนแบบอนุกรมและความแปรปรวนระหว่างการทำงาน ข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยของตัวอย่างนี้จะเพิ่มเป็นสองเท่า
การแจกแจงค่าเฉลี่ยตัวอย่างมักจะมีกฎการแจกแจงแบบปกติ (หรือเข้าใกล้) เสมอ โดยไม่คำนึงถึงลักษณะของการกระจายตัวของประชากรทั่วไป อย่างไรก็ตาม ในกรณีของตัวอย่างขนาดเล็ก จะมีการบังคับใช้กฎหมายการจำหน่ายที่แตกต่างออกไป - การกระจายตัวของนักเรียน. ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่นจะพบได้จากตารางการแจกแจงแบบ t ของนักเรียน ขึ้นอยู่กับระดับความเชื่อมั่นและขนาดตัวอย่าง สำหรับค่าแต่ละค่า ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นของกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กจะถูกกำหนดโดยใช้ตารางนักเรียนพิเศษ (ตารางที่ 9) ซึ่งให้การกระจายตัวของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน:
ตารางที่ 9.
| n | ที | ||||
| 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 3,0 | |
| 0,347 | 0,609 | 0,769 | 0,861 | 0,942 | |
| 0,362 | 0,637 | 0,806 | 0,898 | 0,970 | |
| 0,368 | 0,649 | 0,823 | 0,914 | 0,980 | |
| 0,371 | 0,657 | 0,832 | 0,923 | 0,985 | |
| 0,376 | 0,666 | 0,846 | 0,936 | 0,992 | |
| 0,377 | 0,670 | 0,850 | 0,940 | 0,993 |
เนื่องจากเมื่อดำเนินการตัวอย่างขนาดเล็ก ค่า 0.95 หรือ 0.99 เป็นที่ยอมรับในทางปฏิบัติว่าเป็นความน่าจะเป็นความเชื่อมั่น การอ่านค่าการแจกแจงของนักเรียนต่อไปนี้จึงถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดข้อผิดพลาดสูงสุดของตัวอย่างขนาดเล็ก (ตารางที่ 10)
ตารางที่ 10.
| n | ||
| 0,95 | 0,99 | |
| 3,183 | 5,841 | |
| 2,777 | 4,604 | |
| 2,571 | 4,032 | |
| 2,447 | 3,707 | |
| 2,364 | 3,500 | |
| 2,307 | 3,356 | |
| 2,263 | 3,250 | |
| 2,119 | 2,921 | |
| 2,078 | 2,832 |
ตัวอย่าง.
ในระหว่างการตรวจสอบควบคุมคุณภาพของไส้กรอกที่จำหน่าย ข้อมูลเกี่ยวกับปริมาณเกลือแกงในตัวอย่างได้รับ จากข้อมูลการสำรวจตัวอย่าง มีความจำเป็นต้องกำหนดขีด จำกัด ภายในเปอร์เซ็นต์เฉลี่ยของปริมาณเกลือแกงในชุดสินค้าที่กำหนดโดยมีความน่าจะเป็น 0.95
เราจัดทำตารางการคำนวณและพิจารณาตัวอย่างเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก (ตารางที่ 11) ตามผลลัพธ์
ตารางที่ 11.
| ตัวอย่าง | ||
| 4,3 | 0,2 | 0,04 |
| 4,2 | 0,1 | 0,01 |
| 3,8 | 0,3 | 0,09 |
| 4,3 | 0,2 | 0,04 |
| 3,7 | - 0,4 | 0,16 |
| 3,9 | - 0,2 | 0,04 |
| 4,5 | 0,4 | 0,16 |
| 4,4 | 0,3 | 0,09 |
| 4,0 | - 0,1 | 0,01 |
| 3,9 | - 0,2 | 0,04 |
| 41,0 | - | 0,68 |
เราพิจารณาความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก:
เราพิจารณาข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็ก:
จากขนาดกลุ่มตัวอย่าง (n=10) และความน่าจะเป็นที่ระบุ =0.95 ค่าของสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น t=2.263 จะถูกกำหนดโดยใช้การแจกแจงของนักเรียน (ดูตารางที่ 10)
ข้อผิดพลาดเล็กน้อยของกลุ่มตัวอย่างขนาดเล็กจะเป็น:
ดังนั้นด้วยความน่าจะเป็นที่ 0.95 จึงสามารถระบุได้ว่าในไส้กรอกทั้งชุดปริมาณเกลือแกงอยู่ในขอบเขต:
เหล่านั้น. จาก 4.1% - 0.2%=3.9% ถึง 4.1%+0.2%=4.3%.◄
ตัวอย่าง
จำเป็นต้องสร้างช่วงความเชื่อมั่น 99% สำหรับการประมาณเส้นผ่านศูนย์กลางเฉลี่ยทั่วไปของผลิตภัณฑ์โดยอิงจากตัวอย่างชิ้นส่วน 10 ชิ้นที่ประมวลผลด้วยเครื่องกลึงอัตโนมัติ หากการเบี่ยงเบนของขนาดของชิ้นส่วนเหล่านี้จากจุดกึ่งกลางของสนามความคลาดเคลื่อนปรากฏออกมา ให้เป็นดังนี้ (ตารางที่ 12)
ตารางที่ 12.
ตัวอย่างไมโครเฉลี่ย ความแปรปรวนตัวอย่างคือ 5.2:
ค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของตัวอย่างคือ 0.76 ไมครอน: ม.ค.
ด้วย P = 0.99 และจำนวนองศาอิสระ k = 9 เราพบจากตารางว่าค่า t คือ 3.25 จากนั้นด้วยความน่าจะเป็น 0.99 เราสามารถสรุปได้ว่าข้อผิดพลาดของค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะไม่เกิน 2.47 μm (3.25 x 0.76) และค่าที่ยอมรับได้ของพารามิเตอร์ประชากรจะอยู่ในช่วงตั้งแต่ – 0.47 ถึง + 4.47 กก. (2.0 ± 2.47).◄
4. การกำหนดขนาดตัวอย่างที่ต้องการก่อนที่จะดำเนินการสังเกตตัวอย่างโดยตรง คำถามที่ว่าจะต้องเลือกจำนวนประชากรที่อยู่ระหว่างการศึกษาจำนวนเท่าใดสำหรับการสำรวจจะได้รับการแก้ไขเสมอ ขนาดตัวอย่างอาจกำหนดได้ตามบทบัญญัติ:
· ประเภทของตัวอย่างที่ต้องการ
· วิธีการเลือก (ซ้ำหรือไม่ซ้ำกัน);
· การเลือกพารามิเตอร์ที่จะประเมิน (ค่าเฉลี่ยของคุณลักษณะหรือสัดส่วน)
นอกจากนี้ มีความจำเป็นต้องกำหนดค่าล่วงหน้าของความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นที่เหมาะสมกับผู้บริโภคข้อมูล และขนาดของข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดที่อนุญาต
ปัญหาเหล่านี้ได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของทฤษฎีบทของ P. Chebyshev และ A. Lyapunov ค่าของข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดสำหรับตัวอย่างเชิงกลแบบสุ่มล้วนๆ ถูกกำหนดดังนี้:
สำหรับการสุ่มตัวอย่างแบบสุ่มและการสุ่มตัวอย่างเชิงกลด้วยวิธีการเลือกแบบไม่ซ้ำ ขนาดตัวอย่างที่ต้องการสำหรับคุณลักษณะเชิงปริมาณโดยเฉลี่ยจะคำนวณโดยใช้สูตร
เมื่อพิจารณาจากวัสดุตัวอย่าง ส่วนแบ่งของลักษณะและไม่ใช่ค่าเฉลี่ย ขนาดของประชากรตัวอย่างจะถูกกำหนดโดยสูตรต่อไปนี้
สำหรับการเลือกใหม่:
สำหรับการเลือกแบบไม่ซ้ำกัน:
มักไม่ทราบปริมาณที่แสดงถึงการกระจายตัวของประชากร ในสถิติทางคณิตศาสตร์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าความสัมพันธ์ระหว่างความแปรปรวนทั่วไปและความแปรปรวนตัวอย่างถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน
เนื่องจากค่าที่มากเพียงพอค่าจะใกล้เคียงกับความสามัคคี เราจึงสามารถสรุปได้ว่า . ดังนั้นในทางปฏิบัติ ความแปรปรวนตัวอย่างจึงถูกใช้เป็นค่าประมาณของความแปรปรวนทั่วไป โปรดทราบว่าในช่วงเริ่มต้นของการสังเกตตัวอย่าง ไม่ทราบตัวบ่งชี้ความแปรผัน ดังนั้น การกำหนดขนาดตัวอย่างที่ต้องการจึงมักเป็นปัญหาร้ายแรงที่เกี่ยวข้องกับการพิจารณาตัวบ่งชี้ความแปรผันของคุณลักษณะที่กำลังศึกษา ประมาณดัชนีความผันแปรถูกกำหนดด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:
· นำมาจากการศึกษาครั้งก่อน;
· หากโครงสร้างและเงื่อนไขการพัฒนามีเสถียรภาพเพียงพอ หรือทราบค่าประมาณของค่าเฉลี่ย จะพบการกระจายตัวจากความสัมพันธ์
· ถ้า และ ทราบ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็สามารถกำหนดได้ตามกฎ "สามซิกมา": เนื่องจากในการแจกแจงแบบปกติ ช่วงของการแปรผันจะพอดีภายใน หากการกระจายตัวไม่สมมาตรอย่างเห็นได้ชัด ดังนั้น ;
เมื่อศึกษาคุณลักษณะทางเลือกในกรณีที่ไม่ทราบความถี่โดยประมาณ คุณสามารถใช้ค่าสูงสุดของการกระจายตัวของส่วนแบ่งเท่ากับ 0.25 กล่าวคือ . ในกรณีนี้เรามีสำหรับการเลือกซ้ำ สำหรับการเลือกที่ไม่ซ้ำ
· ดำเนินการตัวอย่าง "ทดสอบ" ซึ่งใช้คำนวณดัชนีความแปรปรวน ซึ่งใช้เป็นค่าประมาณของประชากรทั่วไป
เนื่องจากมีการประเมินความแปรปรวนทั่วไปโดยประมาณ ขนาดตัวอย่างจึงถูกปัดเศษขึ้นทั้งสำหรับการสุ่มตัวอย่างซ้ำและไม่ซ้ำ เนื่องจากจะต้องมี "สำรอง" บางส่วนในจำนวนหน่วยที่สำรวจเสมอเพื่อให้แน่ใจว่าผลลัพธ์มีความแม่นยำตามที่กำหนด
บ่อยครั้งในทางปฏิบัติ ค่าของข้อผิดพลาดสูงสุดที่ระบุไม่ใช่ค่าของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ แต่เป็นค่าของข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ ซึ่งแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ของค่าเฉลี่ย:
ที่ไหน .
เมื่อแทนค่าที่แสดงผ่านข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ลงในสูตรในการพิจารณา เราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้เพื่อกำหนดขนาดตัวอย่างที่ต้องการ:
ดังที่ทราบกันดีว่าอัตราส่วนคือค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน , ที่ไหน
เมื่อใช้การสุ่มตัวอย่างแบบไม่ทำซ้ำ ขนาดตัวอย่างจะคำนวณโดยใช้สูตร
หากระบุข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดและขนาดตัวอย่าง คุณสามารถกำหนดค่าของสัมประสิทธิ์ได้ โดยรู้ว่าค่าใดที่คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นได้จากตาราง
ตัวอย่าง
ต้องมีการสำรวจตัวแทนการท่องเที่ยวกี่รายในองค์กรการท่องเที่ยวในภูมิภาคเพื่อให้ได้ลักษณะของค่าตอบแทนเฉลี่ยสำหรับคนงานประเภทนี้ในภูมิภาค เป็นที่ทราบกันดีว่าความแตกต่างระหว่างค่าตอบแทนสูงสุดและต่ำสุดสำหรับตัวแทนการท่องเที่ยวในภูมิภาคคือ 300,000 รูเบิล
สำหรับการแจกแจงแบบปกติในช่วงเวลา ± 3s รวม 99.7% ของค่าแอตทริบิวต์ตัวแปรทั้งหมดซึ่งหมายความว่า 300,000 รูเบิลที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่กำลังพิจารณา ประมาณเท่ากับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหกค่า (300 » 6 วินาที) ดังนั้นค่าประมาณโดยประมาณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าจ้างในประชากรทั่วไปของตัวแทนการท่องเที่ยวในภูมิภาคจะอยู่ที่ 50,000 รูเบิล () สำหรับการคำนวณเพิ่มเติมก็เพียงพอแล้วที่ความน่าจะเป็น 0.954 ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดจะต้องไม่เกิน 10,000 รูเบิล จากนั้นเมื่อรู้ว่า s = 50,000 รูเบิล, a เสื้อ = 2 และการใช้สูตร (5.6) เพื่อกำหนดขนาดตัวอย่างที่ต้องการ เราได้รับ: ประชากร
ดังนั้นภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด จึงจำเป็นต้องสำรวจเงินเดือนของตัวแทนการท่องเที่ยว 100 รายในภูมิภาค◄
ตัวอย่าง
กลุ่มตัวอย่างควรมีขนาดเท่าใดจากประชากรที่รวมนักลงทุนรุ่นเยาว์จำนวน 8,000 คน โดยความน่าจะเป็น 0.954 ข้อผิดพลาดส่วนเพิ่มสัมพัทธ์จะไม่เกิน 1% หากทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลงของคุณลักษณะสำหรับประชากรทั้งหมดคือ 0.125 นั่นคือ 12.5%?
โดย V=12.5%, =1%, t=2 เรามีคน◄
ตัวอย่าง
จากการสำรวจตัวอย่างกลุ่มประชากรบางกลุ่ม (N = 5,000) จำเป็นต้องกำหนดสัดส่วนของครอบครัวที่ปัจจุบันไม่มีรถยนต์นำเข้า ค่าความผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดไม่ควรเกิน 0.01 โดยมีความน่าจะเป็น 0.954 สันนิษฐานได้ว่าสัดส่วนประชากรน้อยกว่า 0.2 ขนาดตัวอย่างควรเป็นเท่าใด?
ครัวเรือน
สัดส่วนครัวเรือนที่ไม่มีรถยนต์นำเข้าคือ หากในตัวอย่างนี้ เราไม่คำนึงถึงปริมาณประชากร การคำนวณจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่มีความหมาย:
ตัวอย่าง
ในตัวอย่าง 1,000 หน่วย สัดส่วนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องคือ 2% ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ทั้งชุด (10,000 ชิ้น) สัดส่วนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องจะอยู่ในช่วง 1.5 ถึง 2.5% เป็นเท่าใด
ความน่าจะเป็นของความเชื่อมั่นที่ต้องพิจารณาคือฟังก์ชัน ทีอย่างหลังพบได้จากสูตรสำหรับข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุด , ที่ไหน . ค่าความผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดสามารถกำหนดได้เป็นผลต่างระหว่างส่วนแบ่งทั่วไปสูงสุดที่อนุญาต (ตามเงื่อนไขเท่ากับ 2.5%) และสัดส่วนของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องในกลุ่มตัวอย่าง (ตามเงื่อนไข 2%) .
ดังนั้น = 0.5% (2.5% – 2.0%) เนื่องจากตัวอย่างเป็นแบบสุ่มและไม่ซ้ำกัน สูตรจึงพบค่าของข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างโดยเฉลี่ย
เราพบค่าของสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น: .
ตามตารางของฟังก์ชันอินทิกรัลลาปลาซ ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนด เสื้อเท่ากับ 0.76595 ◄
5. วิธีการเผยแพร่ข้อมูลตัวอย่างแก่ประชาชนทั่วไปวิธีการสุ่มตัวอย่างมักใช้เพื่อให้ได้คุณลักษณะของประชากรตามตัวบ่งชี้ตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการวิจัยทั้งสอง วิธีการขยายการสังเกตตัวอย่างไปยังประชาชนทั่วไป: การคำนวณใหม่โดยตรงของตัวบ่งชี้ตัวอย่างสำหรับประชากรทั่วไปหรือโดยการคำนวณปัจจัยแก้ไข
วิธีการแปลงโดยตรงคือตัวบ่งชี้ส่วนแบ่งตัวอย่างหรือค่าเฉลี่ยจะขยายไปยังประชากรทั่วไปโดยคำนึงถึงข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง ในกรณีนี้ ค่าเฉลี่ยทั่วไปถูกกำหนดเป็น และส่วนแบ่งทั่วไปคือ
ดังนั้นในทางการค้า จะมีการกำหนดจำนวนผลิตภัณฑ์ที่ไม่ได้มาตรฐานที่ได้รับในสินค้าฝากขาย ในการทำเช่นนี้ (โดยคำนึงถึงระดับความน่าจะเป็นที่ยอมรับได้) ตัวบ่งชี้ส่วนแบ่งของผลิตภัณฑ์ที่ไม่ได้มาตรฐานในกลุ่มตัวอย่างจะถูกคูณด้วยจำนวนผลิตภัณฑ์ในชุดสินค้าทั้งหมด
ตัวอย่าง.
ในระหว่างการสุ่มตรวจก้อนขนมปังที่หั่นจำนวน 2,000 ชิ้น ส่วนแบ่งของผลิตภัณฑ์ที่ไม่ได้มาตรฐานในกลุ่มตัวอย่างคือ: 0.1 (10: 100) โดยมีข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดที่กำหนดด้วยความน่าจะเป็น = 0.954
จากข้อมูลเหล่านี้ ส่วนแบ่งของผลิตภัณฑ์ที่ไม่ได้มาตรฐานในชุดทั้งหมดจะเป็น: หรือตั้งแต่ 0.04 ถึง 0.16
โดยใช้วิธีการคำนวณใหม่โดยตรง สามารถกำหนดขีดจำกัดของจำนวนที่แน่นอนของผลิตภัณฑ์ที่ไม่ได้มาตรฐานในชุดทั้งหมด: จำนวนขั้นต่ำ - 2,000: 0.04 = 80 ชิ้น; จำนวนสูงสุด - 2,000: 0.16 = 320 ชิ้น
วิธีการแก้ไขปัจจัยใช้ในกรณีที่วัตถุประสงค์ของวิธีการสุ่มตัวอย่างคือการชี้แจงผลการสังเกตอย่างต่อเนื่อง
ในทางปฏิบัติทางสถิติ วิธีการนี้ใช้เพื่อชี้แจงข้อมูลจากการสำรวจสำมะโนประชากรประจำปีของการปศุสัตว์ที่ประชากรเป็นเจ้าของ ในการดำเนินการนี้ หลังจากสรุปข้อมูลจากการสำรวจสำมะโนประชากรทั้งหมดแล้ว จะใช้การสำรวจตัวอย่าง 10% เพื่อกำหนดสิ่งที่เรียกว่า "เปอร์เซ็นต์ของการนับน้อยไป"
ตัวอย่างเช่น หากตามตัวอย่าง 10% มีหัวปศุสัตว์ 52 ตัวลงทะเบียนในฟาร์มของประชากรหมู่บ้าน และตามข้อมูลการสำรวจสำมะโนประชากรทั้งหมด มีหัว 50 ตัวในอาร์เรย์นี้ ดังนั้นปัจจัยการนับต่ำกว่าคือ 4 % [(2*50):100]. เมื่อคำนึงถึงค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้รับ จึงมีการแก้ไขจำนวนปศุสัตว์ทั้งหมดที่ประชากรในหมู่บ้านหนึ่งเป็นเจ้าของ
6. การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ สมมติฐาน- นี่เป็นข้อสันนิษฐานทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับลักษณะของปรากฏการณ์ที่กำหนดสิ่งเหล่านั้นซึ่งต้องมีการตรวจสอบและพิสูจน์
สมมติฐานทางสถิติ- นี่เป็นข้อสันนิษฐานบางประการเกี่ยวกับพารามิเตอร์หรือรูปร่างของการกระจายตัวของประชากร ซึ่งสามารถตรวจสอบได้จากผลการสังเกตตัวอย่าง สาระสำคัญของการทดสอบสมมติฐานคือการตรวจสอบว่าผลลัพธ์ของกลุ่มตัวอย่างสอดคล้องกับสมมติฐานหรือไม่ หรือความแตกต่างระหว่างสมมติฐานและข้อมูลตัวอย่างเป็นแบบสุ่มหรือไม่สุ่ม
ก็สามารถตั้งสมมติฐานได้ว่า ปกติ, ทวินาม, การแจกแจงแบบปัวซงฯลฯ . เหตุผลในการอ้างอิงถึงการแจกแจงแบบปกติบ่อยครั้งก็คือการแจกแจงประเภทนี้เป็นการแสดงออกถึงรูปแบบที่เกิดขึ้นจากอันตรกิริยาของสาเหตุสุ่มต่างๆ มากมาย โดยที่สาเหตุเหล่านั้นไม่มีอิทธิพลเหนือกว่าเลย ในสถิติทางเศรษฐกิจและสังคม การแจกแจงแบบปกตินั้นหาได้ยาก แต่เมื่อเปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบปกติแล้ว สิ่งสำคัญคือต้องกำหนดขอบเขตและลักษณะของการเบี่ยงเบนของการกระจายตามจริง เมื่อทดสอบสมมติฐาน อาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้ 2 ประเภท:
ก) พิมพ์ผิดครับ– สมมติฐานที่กำลังทดสอบ (ปกติเรียกว่าสมมติฐานว่าง) เป็นจริง แต่ผลลัพธ์ของการทดสอบนำไปสู่การปฏิเสธ
ข) ข้อผิดพลาดประเภท II– สมมติฐานที่กำลังทดสอบนั้นแท้จริงแล้วมีข้อผิดพลาด แต่ผลลัพธ์ของการทดสอบนำไปสู่การยอมรับ
ส่วนใหญ่แล้ว สมมติฐานที่ต้องทดสอบนั้นถูกกำหนดไว้ว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างพารามิเตอร์ประชากรที่ไม่รู้จักและค่าที่กำหนด (สมมติฐานว่าง) ซึ่งแสดงด้วย เนื้อหาของสมมติฐานจะเขียนตามหลังเครื่องหมายทวิภาค เป็นต้น
เกณฑ์ทางสถิติคือกฎเกณฑ์ที่ยอมรับหรือปฏิเสธสมมติฐานว่าง สำหรับสมมติฐานแต่ละประเภทที่กำลังทดสอบ เกณฑ์พิเศษได้รับการพัฒนาขึ้น ซึ่งเกณฑ์ที่ใช้บ่อยที่สุดคือการทดสอบการแจกแจงแบบปกติและการแจกแจงของนักเรียน การทดสอบฟิชเชอร์ การแจกแจงแบบเพียร์สัน (“ไคสแควร์”) และอื่นๆ
หากต้องการสร้างเกณฑ์ทางสถิติที่ช่วยให้คุณสามารถทดสอบสมมติฐานได้ คุณต้องมีสิ่งต่อไปนี้:
1) กำหนดสมมติฐานที่ทดสอบได้ นอกจากสมมติฐานที่กำลังทดสอบแล้ว ยังมีการกำหนดสมมติฐานที่แข่งขันกัน (ทางเลือก) อีกด้วย
2) เลือกระดับนัยสำคัญที่ควบคุมความน่าจะเป็นที่อนุญาตของข้อผิดพลาดประเภทที่ 1
3) กำหนดช่วงของค่าที่ยอมรับได้และพื้นที่วิกฤติที่เรียกว่า
4) ตัดสินใจสิ่งนี้หรือสิ่งนั้นโดยอาศัยการเปรียบเทียบค่าจริงและค่าวิกฤตของเกณฑ์
ระดับความสำคัญ() เป็นค่าเล็กน้อยของความน่าจะเป็นที่เกณฑ์จะตกลงไปในพื้นที่วิกฤต โดยมีเงื่อนไขว่าสมมติฐานนั้นถูกต้อง ซึ่งการเกิดขึ้นของเหตุการณ์นี้ถือได้ว่าเป็นผลมาจากความแตกต่างที่มีนัยสำคัญระหว่างสมมติฐานที่ยกมาและผลลัพธ์ของตัวอย่าง . โดยปกติแล้วระดับนัยสำคัญจะอยู่ที่ 0.05 หรือ 0.01
พลังแห่งการทดสอบคือความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธสมมติฐานว่างที่กำลังทดสอบเมื่อสมมติฐานทางเลือกนั้นถูกต้อง นั่นคืออำนาจของเกณฑ์คือความน่าจะเป็นที่จะไม่มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้น แน่นอนว่า ควรมีเกณฑ์ที่มีประสิทธิภาพมากกว่านี้ เนื่องจากจะทำให้มีความเป็นไปได้น้อยที่สุดที่จะเกิดข้อผิดพลาดประเภท II
การทดสอบทางสถิติที่ใช้ในการทดสอบสมมติฐานมีสองประเภท:
1) พาราเมตริกฉันเรียกเกณฑ์ที่อิงตามสมมติฐาน: การแจกแจงของตัวแปรสุ่มโดยรวมเป็นไปตามกฎที่ทราบบางประการ (เช่น ปกติ, ทวินาม, ปัวซอง) เกณฑ์เหล่านี้รวมถึงเกณฑ์ด้วย
2) ไม่ใช่พารามิเตอร์(ลำดับ) คือเกณฑ์การใช้งานที่ไม่เกี่ยวข้องกับความรู้เรื่องกฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม สามารถใช้เมื่อการกระจายแตกต่างไปจากปกติอย่างมาก เกณฑ์เหล่านี้รวมถึงการทดสอบสัญญาณ Wilcoxon, White และ Mann-Whitney
เมื่อเปรียบเทียบกับการทดสอบแบบอิงพารามิเตอร์ การทดสอบแบบไม่อิงพารามิเตอร์มีข้อดีและข้อเสียดังต่อไปนี้
ข้อดี:
1. มีสมมติฐานเกี่ยวกับประชากรน้อยลง สิ่งสำคัญที่สุดคือ ประชากรไม่ควรมีการกระจายตัวตามปกติหรือประมาณปกติ
2. สามารถใช้วิธีการทดสอบแบบไม่อิงพารามิเตอร์ได้แม้ว่าตัวอย่างจะมีขนาดเล็กมากก็ตาม
3. สามารถใช้ข้อมูลที่นำเสนอในระดับการวัดใดก็ได้ (ระบุ, ลำดับ)
4. ความเรียบง่ายของการคำนวณซึ่งสามารถทำได้บนเครื่องคิดเลขขนาดเล็ก สาเหตุหลักมาจากการสังเกตจำนวนเล็กน้อยที่ใช้การทดสอบแบบไม่มีพารามิเตอร์
ข้อบกพร่อง:
1. ข้อมูลข้อมูลถูกใช้อย่างมีประสิทธิภาพน้อยลง และพลังของการทดสอบต่ำกว่าพารามิเตอร์พาราเมตริก
การทดสอบแบบไม่อิงพารามิเตอร์อาศัยตารางทางสถิติมากกว่า เว้นแต่จะใช้ชุดซอฟต์แวร์พิเศษ
ขั้นตอนการทำงานเพื่อทดสอบสมมติฐานทางสถิติ:
1) การประเมินข้อมูลอินพุตและคำอธิบายของแบบจำลองทางสถิติของประชากรตัวอย่าง
2) การก่อตัวของสมมติฐานว่างและทางเลือก;
3) การสร้างระดับนัยสำคัญเพื่อควบคุมข้อผิดพลาดประเภทแรก
4) การเลือกเกณฑ์ที่มีประสิทธิภาพเพื่อทดสอบสมมติฐานว่าง (ทำให้สามารถควบคุมการเกิดข้อผิดพลาดประเภท II ได้)
5) การคำนวณมูลค่าที่แท้จริงของเกณฑ์โดยใช้อัลกอริธึมบางอย่าง
6) การกำหนดขอบเขตวิกฤตและขอบเขตของข้อตกลงกับสมมติฐานว่าง นั่นคือ การสร้างค่าตารางของเกณฑ์
7) การเปรียบเทียบค่าเกณฑ์ตามจริงและแบบตารางและสรุปผลตามผลการทดสอบสมมติฐานว่าง
จำนวนการสังเกตที่ใช้สร้างการแจกแจงเชิงประจักษ์มีน้อยและแสดงถึงกลุ่มตัวอย่างจากประชากรที่กำลังศึกษา ข้อมูลเชิงประจักษ์เกี่ยวข้องกับข้อผิดพลาดแบบสุ่ม ซึ่งไม่ทราบขนาด ด้วยการเพิ่มจำนวนการสังเกตและในเวลาเดียวกันกับค่าของช่วงเวลาที่ลดลง ซิกแซกของรูปหลายเหลี่ยมเริ่มเรียบออกและในขีดจำกัด ส่งผ่านไปยังเส้นโค้งเรียบ - เส้นโค้งการกระจาย
เส้นการแจกแจงแสดงลักษณะของการแจกแจงทางทฤษฎี ซึ่งก็คือ ซึ่งจะได้มาถ้าสาเหตุที่สุ่มทั้งหมดที่ปิดบังรูปแบบหลักถูกระงับโดยสิ้นเชิง
การศึกษารูปแบบ (รูปร่าง) การกระจายตัวประกอบด้วย:
· ชี้แจงลักษณะทั่วไปของการกระจาย;
· การจัดตำแหน่งของการกระจายเชิงประจักษ์ ซึ่งก็คือ เส้นโค้งที่มีรูปร่างที่กำหนดจะถูกสร้างขึ้นตามการกระจายเชิงประจักษ์
· ตรวจสอบความสอดคล้องของการแจกแจงทางทฤษฎีที่พบกับแบบเชิงประจักษ์
ประชากรที่เป็นเนื้อเดียวกันมีลักษณะเฉพาะ การแจกแจงจุดยอดเดี่ยว มัลติเวอร์เท็กซ์บ่งชี้ ความแตกต่างประชากรที่กำลังศึกษา ในกรณีนี้ จำเป็นต้องจัดกลุ่มข้อมูลใหม่เพื่อระบุกลุ่มที่เป็นเนื้อเดียวกันมากขึ้น
การกำหนดลักษณะทั่วไปของการกระจายนั้นเกี่ยวข้องกับการประเมินระดับความเป็นเนื้อเดียวกันตลอดจนการคำนวณตัวบ่งชี้ความไม่สมมาตรและความโด่ง
สมมาตรคือการแจกแจงโดยที่ความถี่ของตัวเลือกสองตัวใดๆ ที่มีระยะห่างจากศูนย์กลางของการแจกแจงเท่ากันจะเท่ากัน สำหรับการกระจายแบบสมมาตร
สำหรับการวิเคราะห์เปรียบเทียบความไม่สมดุลของการแจกแจงหลายแบบแบบสัมพัทธ์ ดัชนีความไม่สมดุล:
ค่าอาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ค่าบวกบ่งบอกถึงการมีอยู่ของความไม่สมมาตรทางด้านขวา (กิ่งด้านขวาจะยาวกว่าเมื่อเทียบกับลำดับสูงสุดมากกว่าด้านซ้าย) (รูปที่ 1):
รูปที่ 1. โม<Ме<
สัญญาณลบของตัวบ่งชี้ความไม่สมมาตรบ่งชี้ว่ามีความไม่สมมาตรด้านซ้าย (รูปที่ 2)
รูปที่ 2. โม>ฉัน>
ที่พบมากที่สุดคือตัวบ่งชี้ความไม่สมมาตรซึ่งคำนวณโดยสูตร
ช่วงเวลาศูนย์กลางอันดับสามอยู่ที่ไหน
การใช้ตัวบ่งชี้นี้ทำให้สามารถระบุได้ไม่เพียง แต่ระดับของความไม่สมมาตรเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการมีหรือไม่มีความไม่สมดุลในการกระจายลักษณะเฉพาะในประชากรทั่วไปอีกด้วย การประมาณค่าดำเนินการโดยใช้ค่าคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ย:
โดยที่ n คือจำนวนการสังเกต
ถ้า >3 แสดงว่าความไม่สมมาตรมีนัยสำคัญ และการกระจายลักษณะในประชากรไม่สมมาตร ถ้า<3, асимметрия несущественна и ее наличие может объясняться влиянием случайных обстоятельств.
เกณฑ์ข้อตกลงเรียกว่าเกณฑ์ในการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับกฎที่คาดหวังของการกระจายตัวที่ไม่รู้จักในประชากร มีเกณฑ์ข้อตกลงหลายประการ: Pearson, Kolmogorov, Smirnov, Yastremsky เกณฑ์เหล่านี้ทำให้สามารถกำหนดได้ว่าการแจกแจงเชิงทดลองสอดคล้องกับเกณฑ์ทางทฤษฎีหรือไม่ รวมถึงความคลาดเคลื่อนระหว่างการแจกแจงที่มีนัยสำคัญเพียงใด
หนึ่งในการทดสอบความพอดีที่ใช้กันมากที่สุดคือการทดสอบของ K. Pearson (“ไคสแควร์”):
โดยที่ความถี่ของการแจกแจงเชิงประจักษ์และเชิงทฤษฎีในช่วงเวลาตามลำดับ
ยิ่งความแตกต่างระหว่างความถี่ที่สังเกตได้กับความถี่ทางทฤษฎีมากเท่าใด ค่าของเกณฑ์ของ Pearson ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เพื่อแยกแยะค่าที่มีนัยสำคัญจากค่าที่อาจเกิดขึ้นจากการสุ่มตัวอย่าง ค่าเกณฑ์ที่คำนวณได้จะถูกนำไปเปรียบเทียบกับค่าที่ทำเป็นตารางตามจำนวนองศาอิสระที่เหมาะสมและระดับนัยสำคัญที่กำหนด
เมื่อกำหนดค่าของเกณฑ์ Pearson ตามข้อมูลจากตัวอย่างเฉพาะแล้ว คุณจะพบกับตัวเลือกต่อไปนี้:
1) กล่าวคือ ตกอยู่ในบริเวณวิกฤต ซึ่งหมายความว่าความแตกต่างระหว่างความถี่เชิงประจักษ์และความถี่ทางทฤษฎีมีความสำคัญและไม่สามารถอธิบายได้ด้วยความผันผวนแบบสุ่มในข้อมูลตัวอย่าง ในกรณีนี้ สมมติฐานที่ว่าการแจกแจงเชิงประจักษ์ใกล้เคียงกับปกติจะถูกปฏิเสธ
2) กล่าวคือ เกณฑ์ที่คำนวณได้จะต้องไม่เกินค่าความคลาดเคลื่อนสูงสุดที่เป็นไปได้ระหว่างความถี่เชิงประจักษ์และความถี่ทางทฤษฎี ซึ่งอาจเกิดขึ้นเนื่องจากความผันผวนแบบสุ่มในข้อมูลตัวอย่าง ในกรณีนี้ สมมติฐานที่ว่าการกระจายเชิงประจักษ์ใกล้เคียงกับปกติจะไม่ถูกปฏิเสธ
ค่าตารางของเกณฑ์ Pearson ถูกกำหนดที่ระดับนัยสำคัญคงที่และจำนวนระดับความเป็นอิสระที่สอดคล้องกัน
จำนวนองศาอิสระ = โดยที่จำนวนเงื่อนไขที่ถือว่าต้องเป็นไปตามเมื่อคำนวณความถี่ทางทฤษฎี คือจำนวนกลุ่ม แนวคิดของจำนวนองศาอิสระนั้นเกิดจากการที่ในการรวมทางสถิติจำเป็นต้องคำนึงถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นที่จำกัดอิสระในการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรสุ่ม ตัวอย่างเช่นเมื่อคำนวณการกระจายตัวโดยรวมเรามีระดับความเป็นอิสระเนื่องจากเราสามารถกำหนดค่าใด ๆ ของคุณลักษณะได้โดยการรู้ค่าและค่าเฉลี่ยเลขคณิต.
เมื่อคำนวณเกณฑ์ของ Pearson ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
1. จำนวนการสังเกตต้องมีมากเพียงพอ
2. หากความถี่ทางทฤษฎีในบางช่วงน้อยกว่า 5 ดังนั้นช่วงดังกล่าวจะถูกรวมเข้าด้วยกันเพื่อให้ความถี่มากกว่า 5
ตัวอย่าง
จำเป็นต้องตรวจสอบว่าการกระจายตัวของวิสาหกิจระดับภูมิภาคตามต้นทุนเฉลี่ยของสินทรัพย์ถาวรสอดคล้องกับกฎหมายการกระจายสินค้าแบบปกติโดยใช้เกณฑ์หรือไม่
มีความจำเป็นต้องทดสอบสมมติฐานว่าตัวอย่างได้มาจากประชากรที่แจกแจงตามปกติ (ในประชากรนี้ 30.3; 8.44)
เพื่อตอบคำถามเราจะรวบรวมตารางเสริม 13
ตารางที่ 13
| กลุ่มสถานประกอบการก่อสร้าง ตามปริมาณงานตามสัญญาที่ดำเนินการ ล้านรูเบิล | ความถี่ที่สังเกตได้ | ความถี่กลม | |||||||
| 10–15 15–20 20–25 25–30 30–35 35–40 40–45 45–50 50–55 | -2,41 -1,81 -1,22 -0,63 -0,04 0,56 1,15 1,74 2,33 | -1,81 -1,22 -0,63 -0,04 0,56 1,15 1,74 2,33 2,93 | -0,984 -0,930 -0,778 -0,471 -0,032 0,425 0,750 0,918 0,980 | -0,930 -0,778 -0,471 -0,032 0,425 0,750 0,918 0,980 0,997 | 0,027 0,076 0,153 0,220 0,228 0,163 0,084 0,031 0,008 | 3,9 10,9 21,9 31,4 32,6 23,3 12,0 4,4 1,2 | |||
| 0,18 3,226 1,48 0,173 0,333 | |||||||||
| 0,2 | |||||||||
| ทั้งหมด | - | - | - | - | - | - | 5,512 |
สำหรับช่วงแรก
143*0,027 = 3,9 ≈ 4.
จำนวนกลุ่มหลังรวมกลุ่มย่อยคือ 7 ค่าวิกฤตที่ 7 – 3 = องศาอิสระ 4 องศา และค่านัยสำคัญ 0.05 จะเป็น 9.49 ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของการแจกแจงที่แตกต่างจากปกติจะน้อยกว่า 0.05 และความน่าจะเป็นที่จะปฏิบัติตามกฎหมายปกตินั้นมากกว่า 0.95 ที่ α = 0.1 จะเท่ากับ 7.78 ซึ่งมากกว่าค่าจริงเช่นกัน สมมติฐานที่ว่าการกระจายตัวของประชากรที่กำหนดนั้นสอดคล้องกับกฎปกติไม่สามารถปฏิเสธได้
เมื่อใช้เกณฑ์นี้ คุณสามารถตรวจสอบไม่เพียงแต่สมมติฐานเกี่ยวกับข้อตกลงของการแจกแจงเชิงประจักษ์กับสมมติฐานปกติ แต่ยังรวมถึงกฎการกระจายอื่น ๆ ที่รู้จักด้วย การกระจายปัวซอง. การกระจายนี้เกิดขึ้นเมื่อพิจารณาเหตุการณ์ความน่าจะเป็นต่ำที่เกิดขึ้นในการทดลองอิสระชุดใหญ่ โอกาสที่เหตุการณ์หายากเหล่านี้จะเกิดขึ้น
โดยที่คือจำนวนครั้งเฉลี่ยของเหตุการณ์ กวี nการทดสอบอิสระที่เหมือนกันนั่นคือ ร– ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ระหว่างการทดลองหนึ่งครั้ง จ = 2,71828; ม– ความถี่ของเหตุการณ์นี้
ตัวอย่างเช่น เพื่อดำเนินการควบคุมคุณภาพภายในของการประมวลผลคำขอชำระเงิน มีการสุ่มเลือกเอกสาร 100 รายการ จำนวนข้อผิดพลาดโดยเฉลี่ยคือ จำเป็นต้องตรวจสอบความสอดคล้องของการแจกแจงเชิงประจักษ์กับการแจกแจงแบบปัวซองโดยใช้เกณฑ์ (ตารางที่ 14)
ตารางที่ 14
| จำนวนข้อผิดพลาด | จำนวนเอกสารที่ตรวจสอบแล้ว | |||
| 0,6771 0,2641 0,0515 0,0067 0,0007 | 67,7 26,4 5,15 0,7 0,1 | 0,7859 0,4100 0,0043 8,1148 13,3877 | ||
| ทั้งหมด | 1,0000 | 26,400 |
ค่า = 26.4 จำนวนองศาอิสระ df = 5 – 1 = 4 (สำหรับการแจกแจงแบบปัวซอง: df = k – 1 – r โดยที่ r = 1 หรือ r = 0 หากการประมาณค่าอิงจากตัวอย่าง) ค่าตาราง ; . เนื่องจาก สมมติฐานการกระจายปัวซองถูกปฏิเสธ
เพื่อประเมินระดับข้อตกลงระหว่างการแจกแจงเชิงประจักษ์และเชิงทฤษฎีตามเกณฑ์นี้ จะใช้ตารางพิเศษ
ในกรณีที่ไม่มีตารางพิเศษ เกณฑ์ "ไคสแควร์" สามารถถูกแทนที่ด้วยเกณฑ์ของ V.I. Romanovsky:
จำนวนองศาอิสระอยู่ที่ไหน
สำหรับการแจกแจงแบบปกติ การแจกแจงแบบ Charlier โดยที่คือจำนวนช่วง (กลุ่ม)
ความแตกต่างระหว่างความถี่เชิงประจักษ์และความถี่ทางทฤษฎีจะถือเป็นแบบสุ่มหากค่าน้อยกว่าสาม
นอกเหนือจากเกณฑ์เหล่านี้แล้วให้พิจารณาด้วย เกณฑ์ที่ไม่ใช่พารามิเตอร์และความเกี่ยวข้องของการใช้งานก็เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่อง
การทดสอบอันดับลงนามของวิลคอกสัน– จำนวนการสังเกตซึ่ง )
พื้นที่เบี่ยงเบน เอช 0อาจเป็นด้านเดียวหรือทั้งสองด้านก็ได้ ขึ้นอยู่กับว่าสมมติฐานว่างใดที่กำลังถูกทดสอบ ในกรณีที่ไม่มีตารางสถิติ W พิเศษ สามารถใช้การแจกแจงแบบปกติมาตรฐานได้ นั่นคือ สถิติ Z โดยคำนึงถึง ป.
ตัวอย่าง
จำเป็นต้องใช้การทดสอบอันดับลงนามของ Wilcoxon เพื่อแก้ไขปัญหาความสำคัญของมูลค่ากำไรเฉลี่ยที่มากเกินไปในประชากรที่ศึกษาของบริษัทที่มีส่วนร่วมในธุรกรรมอสังหาริมทรัพย์ ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ (ระดับนัยสำคัญ 5%) สมมติฐานว่างและทางเลือกจะถูกเขียนดังนี้: แต่:ม< 0; ฮ 1:ม. > 0.
ตารางที่ 16
การคำนวณการทดสอบวิลคอกซัน
| บริษัท | มูลค่าที่สังเกตได้ (กำไรเป็นเปอร์เซ็นต์ของยอดขาย) | อันดับ | ||||
| -5 | -5 | 9,5 9,5 9,5 15,5 9,5 2,0 15,5 9,5 13,5 13,5 9,5 | 9,5 9,5 9,5 15,5 9,5 2,0 15,5 9,5 13,5 - 9,5 | 13,5 | ||
| ทั้งหมด | - | - | - | - | 139,5 | 13,5 |
สำหรับบริษัทที่มี อันดับจะถูกวางไว้ในคอลัมน์แยกต่างหาก ร+ผลรวมของค่าในคอลัมน์นี้ให้สถิติของวิลคอกซัน: ว= 139.5. (คอลัมน์ R– ไม่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ แต่มีการคำนวณเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด)
ค่าเกณฑ์วิกฤต วสามารถพบได้จากตาราง
สำหรับผลต่างที่ไม่ใช่ศูนย์ 17 รายการ และ α = 0.05 คือค่าวิกฤตที่ต่ำกว่า ว= 42, บน – 111 ค่าจริง = 139.5 ไม่อยู่ในช่วงของค่าในตาราง ดังนั้นสมมติฐานว่างจึงสามารถปฏิเสธได้ที่ระดับนัยสำคัญ 5%
การทดสอบอันดับลงนามของวิลคอกสันเพื่อเปรียบเทียบสองตัวอย่างสามารถใช้เป็นเกณฑ์ที่ไม่ใช่พารามิเตอร์ในการแก้ปัญหาที่เคยใช้การทดสอบแบบพาราเมตริกมาก่อน มีการกำหนดลักษณะของประชากรกลุ่มหนึ่ง x 1 และอื่น ๆ ย 1 . วิธีการคำนวณคล้ายกับการใช้เกณฑ์กับตัวอย่างเดียว
ตัวอย่าง
สมาชิกแต่ละคนของทีมวิเคราะห์ 17 คนเห็นโฆษณาสองรายการ อาสาสมัครให้คะแนนระดับความคิดสร้างสรรค์ของโฆษณาแต่ละรายการในระดับตั้งแต่ 1 ถึง 5 ให้คะแนนระดับความคิดสร้างสรรค์ของโฆษณาแต่ละรายการที่ระดับนัยสำคัญ 5%
H 0: นั่นคือค่ามัธยฐาน ในประชากรเท่ากับศูนย์ (ระดับการโฆษณาที่สร้างสรรค์เท่ากัน)
21.5 อยู่ภายในขีดจำกัดเหล่านี้ ดังนั้นจึงยอมรับสมมติฐานว่าง สรุป: สินค้าโฆษณาที่นำมาเปรียบเทียบมีความคิดสร้างสรรค์ในระดับเดียวกัน สันนิษฐานว่า , อันดับข้อมูลจากตัวอย่างที่ 2 จะถูกเขียนลงในคอลัมน์ R2.ค่าที่สังเกตได้ (จริง) ของการทดสอบวิลคอกซันคำนวณโดยใช้สูตร ว = .
ตัวอย่าง.บริษัทกำลังเผชิญกับการฟ้องร้องโดยกล่าวหาว่ามีการเลือกปฏิบัติต่อพนักงานตามเพศ จำเป็นต้องใช้ข้อมูลค่าจ้างที่นำเสนอ (ตารางที่ 19) เพื่อกำหนดที่ระดับนัยสำคัญ 5% ว่าการแจกแจงทั้งสองมีค่ามัธยฐานเท่ากันหรือไม่
ตารางที่ 19
ข้อมูลการเลือกปฏิบัติทางเพศของพนักงาน
| เงินเดือนหนึ่งพันรูเบิล | |||||||||||
| ผู้หญิง | 11,2 | 10,5 | 8,3 | 10,2 | 14,4 | 8,5 | 5,0 | ||||
| 7,5 | = 43,5 | ||||||||||
| ผู้ชาย | 9,1 | 18,3 | 14,1 | 21,9 | 10,5 | 13,8 | 14,6 | 8,6 | 13,4 | 10,6 | |
| 7,5 |
เนื่องจากไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าค่าจ้างรายเดือนสำหรับพนักงานกลุ่มหนึ่งสูงกว่าอีกกลุ่มหนึ่ง สมมติฐานที่เป็นโมฆะและทางเลือกจึงถูกกำหนดให้เป็นแบบสองด้าน
กำลังโหลด...